[論文レビュー] Converting Divergent Weak-Coupling into Exponentially Fast Convergent Strong-Coupling Expansions

H. Kleinert|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2010

Statistical and numerical algorithms参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、発散する弱結合系列を指数的収束する強結合展開に変換する変分摂動法を導入する。変分パラメータを導入し、部分和を結合定数の逆数のべき級数に再展開することで、誤差が $ e^{-\text{const} \times N^{1-\omega}} $ のように指数的に減少する。この方法により、量子力学および場の理論における発散する系列からも、正確な強結合極限が得られる。

ABSTRACT

With the help of a simple variational procedure it is possible to convert the partial sums of order $N$ of many divergent series expansions $f(g)=\sum_{n=0}^\infty a_n g^n$ into partial sums $\sum_{n=0}^N b_n g^{- ωn}$, where $0

研究の動機と目的

• 量子力学および量子場の理論における発散する弱結合展開の根本的問題に取り組むこと。これらの展開は強結合領域でも収束しない。
• これらの発散する系列を、速やかに収束する強結合展開に変換する体系的な手法を開発すること。
• 弱結合系列の収束半径を超えて、エネルギー準位や臨界指数といった物理的量の正確な数値評価を可能にすること。
• 強結合展開において指数的収束率を達成し、標準の漸近級数と比較して著しく精度を向上させること。

提案手法

• 結合定数の依存性を変形するための変分パラメータ $ \Omega $ を導入し、$ \omega \to \sqrt{\Omega^2 + (\omega^2 - \Omega^2)} $ と置き換える。これにより、有限次数での部分和が保存される。
• 固定された $ r = (\omega^2 - \Omega^2)/g $ において、得られた式を $ g $ のべき級数に再展開し、$ \Omega $ に依存する新たな部分和 $ W^N $ を得る。
• 最小感受性原理を適用し、$ W^N $ の $ \Omega $ 依存性を最小化する。これには1階または2階微分条件を用いる。
• 係数 $ a_l $ の漸近的再帰関係からエネルギー $ E(g) $ の微分方程式を構築し、$ g=0 $ で非解析的挙動を示す特異な常微分方程式を得る。
• 解のアンサンブルとして $ E(g) = g^\alpha \exp(1/(3g) - \sum b_k (-g)^k) $ を仮定し、最初の数項について正確な有理数係数が得られる。
• 固有値 $ E_n(g) $ および行列要素 $ V_{mn}(g) $ の1階微分方程式を導出し、全スペクトルの反復的解法を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子力学における発散する弱結合系列を、体系的に収束する強結合級数に変換できるか？
• RQ2 発散する弱結合系列がある中で、どのような変分手続きが強結合展開における指数的収束を可能にするか？
• RQ3 級数係数の漸近的挙動をどのように用いて、関数全体の微分方程式を導出できるか？
• RQ4 この手法は、強く結合された系における臨界指数やエネルギー準位の精度をどの程度向上できるか？

主な発見

• 本手法により、発散する弱結合系列が指数的収束する強結合展開に変換され、誤差が $ e^{-\text{const} \times N^{1-\omega}} $ のように減少する。
• 陽子振動子に対しては、最低次の近似（$ N=1 $）ですら驚くほど高い精度を示し、変分最小値は正確な基底状態エネルギーに非常に近い。
• 係数 $ a_l $ の漸近的挙動は再帰関係 $ a_l / a_{l-1} = -\sum_{j=-1}^L \beta_j l^{-j} $ に従い、最初の6つの $ \beta_j $ が正確な有理数であることが判明した。
• エネルギー $ E(g) $ の微分方程式は $ \left[\left(g\frac{d}{dg}\right)^L + g\sum_{j=0}^{L+1} \beta_{L-j} \left(g\frac{d}{dg}+1\right)^j\right] E(g) = 0 $ として導出され、$ g=0 $ での非解析的構造を捉えている。
• 解のアンサンブル $ E(g) = g^{-1/2} \exp(1/(3g) - \sum b_k (-g)^k) $ により、$ b_1 $ から $ b_6 $ までの係数が正確な有理数となり、WKB近似を上回る精度が得られる。
• 本手法により、$ E_n(g) $ および $ V_{mn}(g) $ の完全な1階微分方程式系が得られ、結合定数の全域にわたるエネルギー準位および行列要素の反復的計算が可能になる。