[論文レビュー] Convex Bodies Associated to Tensor Norms

Maite Fernández-Unzueta, Luisa F. Higueras-Montaño|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2018

Point processes and geometric inequalities被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、テンソル積空間 Rd₁ ⊗ ⋯ ⊗ Rdₗ 内の0-対称な凸体「テンソリアルボディ」を導入する。これらは妥当な交差ノルムの単位球として生じる。プロジェクト型およびインジェクティブ型テンソル積による因子空間の単位球の包含関係を用いた特徴付けを確立し、唯一のヒルベルトテンソル積単位球が楕円体であることを証明する。さらに、分解可能なベクトルを保存する線形同型を用いてテンソリアル・バナッハ＝マザール距離を定義し、このようなボディのコンパクトな空間を構成する。

ABSTRACT

We determine when a convex body in $\mathbb{R}^d$ is the closed unit ball of a reasonable crossnorm on $\mathbb{R}^{d_1}\otimes\cdots\otimes\mathbb{R}^{d_l},$ $d=d_1\cdots d_l.$ We call these convex bodies "tensorial bodies". We prove that, among them, the only ellipsoids are the closed unit balls of Hilbert tensor products of Euclidean spaces. It is also proved that linear isomorphisms on $\mathbb{R}^{d_1}\otimes\cdots \otimes \mathbb{R}^{d_l}$ preserving decomposable vectors map tensorial bodies into tensorial bodies. This leads us to define a Banach-Mazur type distance between them, and to prove that there exists a Banach-Mazur type compactum of tensorial bodies.

研究の動機と目的

• テンソル積空間 Rd₁ ⊗ ⋯ ⊗ Rdₗ 内の0-対称凸体が妥当な交差ノルムの単位球である条件を特徴づけること。
• 因子空間の単位球のプロジェクティブ型およびインジェクティブ型テンソル積に基づく包含制約を満たす凸体として「テンソリアルボディ」のクラスを定義し、それらを研究すること。
• 分解可能なベクトルを保存する線形同型の下でのテンソリアルボディの幾何的構造を調査すること。
• テンソリアル・バナッハ＝マザール距離を定義し、テンソリアルボディのコンパクトな空間を構成すること。
• どの楕円体がテンソリアルボディであるかを特定し、それらがヒルベルトテンソル積のユークリッド空間から生じる必要があることを示すこと。

提案手法

• 有限次元空間におけるノルムと0-対称凸体の間の双対性を確立するため、ミンコフスキー汎関数を用いる。
• Q₁ ⊗π ⋯ ⊗π Qₗ ⊆ Q ⊆ Q₁ ⊗ǫ ⋯ ⊗ǫ Qₗ という包含関係により、テンソリアルボディを特徴づける。ここで Qᵢ は R^{dᵢ} 上のノルム ∥·∥ᵢ における単位球である。
• オーブルンとツァレックによる定義に従い、凸体のプロジェクティブ型およびインジェクティブ型テンソル積を適用し、必要十分条件を導出する。
• 分解可能なベクトルを保存する線形写像 T に対して、δBM⊗(P, Q) = inf{λ ≥ 1 : Q ⊆ T(P) ⊆ λQ} としてテンソリアル・バナッハ＝マザール距離を定義する。
• 数学的帰納法と直交変換の議論を用いて、テンソリアル包含関係を満たす楕円体がヒルベルトテンソル積球に限ることを証明する。
• 行列の恒等式と反対称行列の制約（補題4.6を用いて）により、特定のブロック構造を持つ正定値行列は単位行列に限ることを示し、楕円体の特徴づけを支援する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 テンソル積空間 Rd₁ ⊗ ⋯ ⊗ Rdₗ 内のどの0-対称凸体が妥当な交差ノルムの単位球であるか？
• RQ2 分解可能なベクトルを保存する線形同型の下でのテンソリアルボディの集合の幾何的構造はいかなるものか？
• RQ3 テンソリアルボディからバナッハ＝マザール型のコンパクト空間を構成できるか？
• RQ4 どの楕円体がテンソリアルボディであるか。また、それらはどのような条件下で生じるか？
• RQ5 ヒルベルトテンソル積は、テンソリアル楕円体を特徴づける上で果たす役割は何か？

主な発見

• Rd₁ ⊗ ⋯ ⊗ Rdₗ 内の0-対称凸体 Q がテンソリアルボディであるための必要十分条件は、各 i に対して R^{dᵢ} 内の0-対称凸体 Qᵢ が存在し、Q₁ ⊗π ⋯ ⊗π Qₗ ⊆ Q ⊆ Q₁ ⊗ǫ ⋯ ⊗ǫ Qₗ が成り立つことである。
• テンソリアルボディの双対は再びテンソリアルボディであり、テンソリアルボディは正のスカラー倍に関して安定である。
• 定義に用いられる因子凸体 Qᵢ は本質的に一意的である。
• 分解可能なベクトルを保存する線形同型はテンソリアルボディをテンソリアルボディへ写像するため、テンソリアル・バナッハ＝マザール距離を定義可能である。
• テンソリアルボディである唯一の楕円体は、ユークリッド空間のヒルベルトテンソル積の閉単位球に限る。
• テンソリアルボディの集合は、テンソリアル距離 δBM⊗ に関してバナッハ＝マザール型のコンパクト空間をなす。