[論文レビュー] Convex decompositions of point sets in the plane

Toshinori Sakai, Jorge Urrutia|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2019

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、平面上の一般位置にある n 個の点の集合を分解するのに必要な最小凸多角形数に対する新しい上界を提示する。その結果、$\frac{4}{3}|I(P)| + \frac{1}{3}|B(P)| + 1$ 個の凸多角形で十分であることが示され、ここで $I(P)$ と $B(P)$ はそれぞれ内部点と凸包点の集合を表す。この結果は、以前の上界を改善し、$U(n) \leq \frac{4}{3}n - 2$ を確立することで、点集合の凸分解に対するよりタイトな漸近的上界を確認する。

ABSTRACT

Let $P$ be a set of $n$ points in general position on the plane. A set of closed convex polygons with vertices in $P$, and with pairwise disjoint interiors is called a convex decomposition of $P$ if their union is the convex hull of $P$, and no point of $P$ lies in the interior of the polygons. We show that there is a convex decomposition of $P$ with at most $\frac{4}{3}|I(P)|+\frac{1}{3}|B(P)|+1\le \frac{4}{3}|P|-2$ elements, where $B(P)\subseteq P$ is the set of points at the vertices of the convex hull of $P$, and $I(P)=P-B(P)$.

研究の動機と目的

• 平面上の一般位置にある n 個の点の集合を分解するのに必要な最小凸多角形数に対するよりタイトな上界を確立すること。
• 単に $n$ ではなく、内部点数 $|I(P)|$ と凸包点数 $|B(P)|$ の観点から上界を精緻化すること。
• Urrutiaによる長年の予想 $U(n) \leq n+1$ を、より強い、証明可能な上界によって解消すること。
• 従来の上界 $\frac{10n-18}{7}$ や $\left\lceil\frac{7}{5}(n-3)\right\rceil+1$ よりも改善すること。
• 凸包構造と点の配置に基づく幾何的分解技法を用いた、構成的帰納的証明を提供すること。

提案手法

• 著者らは、点数 $n = |P|$ についての帰納法を用い、$n=3$、$i=1$、$i=2$ の基本ケースを直接処理する。
• 三角形の内部が空であるか、他の点を含むかに基づいて配置を分類する。
• どのような三角形の内部も空でない場合、角領域 $A(p_j; q_j, p_{j-1})$ を定義し、幾何的補題を用いて特定の領域に他の点が存在しないことを示す。
• 補助的集合 $Q_j = \{q_j, q_j^\prime\}$ を定義し、$I(P)$ の凸分解と凸包三角形を組み合わせて完全な分解を構築する。
• 三角形 $\text{Int}(\triangle q_j q_{j+1} q_{j+2})$ と $P$ の共通部分が空かどうかに基づくケース分析を行い、幾何的制約を用いて多角形を結合して総数を削減する。
• 点を削除した部分集合 $P$（例：$P - \{p_j\}$、$P - \{p_j, p_{j+1}\}$）に対して帰納仮定を適用し、得られる分解が提示された上界内に保たれることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般位置にある $n$ 個の点の集合を分解するのに必要な最小凸多角形数は、内部点と凸包点の数に応じてどのように決まるか？
• RQ2 予想 $U(n) \leq n+1$ は、よりタイトな解析的上界によって改善可能か？
• RQ3 凸包の構造と内部点の分布は、凸分解の複雑さにどのように影響するか？
• RQ4 構成的帰納的手法を用いて、新しい上界に達する凸分解を構築可能か？
• RQ5 どのような幾何的性質が、凸性や内部領域の互いに素な性質を損なわずに多角形を結合可能にするか？

主な発見

• 本稿では、点集合 $P$ の分解における最小凸多角形数 $u(P)$ に対して上界 $u(P) \leq \frac{4}{3}|I(P)| + \frac{1}{3}|B(P)| + 1$ を確立した。
• この上界は $U(n) \leq \frac{4}{3}n - 2$ を意味し、$\frac{10n-18}{7}$ や $\left\lceil\frac{7}{5}(n-3)\right\rceil+1$ といった従来の上界よりもタイトである。
• $n=3$ の場合、上界は $u(P) \leq 2$ を与え、これは1つの三角形で十分であるため有効である。
• $|I(P)| = 1$ の場合、上界は $u(P) \leq \frac{4}{3} + \frac{1}{3}b + 1$ を与え、実際の値 $u(P) = 3$ はこれを満たす。
• $|I(P)| = 2$ の場合、上界は $u(P) \leq \frac{8}{3} + \frac{1}{3}b + 1$ を与え、$u(P) = 4$ はこれを満たす。
• 3つの連続する凸包頂点によって形成されるすべての三角形の内部に内部点が存在する最も複雑な場合、内部からの $u(I(P))$ 個の多角形と $b$ 個の凸包三角形を組み合わせることで、$u(P) < \frac{4}{3}|I(P)| + \frac{1}{3}|B(P)| + 1$ が得られる。