[論文レビュー] Convex Hull and Linear Programming in Read-only Setup with Limited Work-space

Minati De, Subhas C. Nandy+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2012

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、読み取り専用で作業領域が限られたモデル下での2次元および3次元の凸包と線形計画法に対する、初めての部分二次時間アルゴリズムを提示する。著者らは、読み取り専用配列に prune-and-search パラダイムを適応させることで、2次元凸包に対して $O(n^{1+rac{3}{2}+ ho})$ 時間と $O(n^{rac{1}{2}})$ 空間、2次元／3次元線形計画法に対して $O(n^{1+ ho})$ 時間と $O(\log n)$ 空間を達成した。ここで $ ho$ は $\\-sqrt{\frac{\log\log n}{\log n}} < \rho < 1$ を満たす。主な貢献は、入力データを変更できないメモリ制限環境において、prune-and-search 技術を用いて効率的な幾何計算を可能にしたことである。

ABSTRACT

Prune-and-search is an important paradigm for solving many important geometric problems. We show that the general prune-and-search technique can be implemented where the objects are given in read-only memory. As examples we consider convex-hull in 2D, and linear programming in 2D and 3D. For the convex-hull problem, designing sub-quadratic algorithm in a read-only setup with sub-linear space is an open problem for a long time. We first propose a simple algorithm for this problem that runs in $O(n^{3/2+ε)}$ time and $O(n^(1/2))$ space. Next, we consider a restricted version of the problem where the points in $P$ are given in sorted order with respect to their $x$-coordinates in a read-only array. For the linear programming problems, the constraints are given in the read-only array. The last three algorithms use {\it prune-and-search}, and their time and extra work-space complexities are $O(n^{1 + ε})$ and $O(\log n)$ respectively, where $ε$ is a small constant satisfying $\sqrt{\frac{\log\log n}{\log n}} &lt; ε&lt; 1$.

研究の動機と目的

• 読み取り専用で作業領域が部分線形な環境下での部分二次凸包アルゴリズムの設計という、長年の未解決問題に取り組むこと。
• 入力データが計算中に変更できない読み取り専用メモリモデルにおいても、効率的に動作する prune-and-search パラダイムを拡張すること。
• 同じ制約下で2次元および3次元線形計画法に対して、近線形時間複雑度と対数的作業領域を達成する効率的アルゴリズムを提供すること。
• データが読み取り専用で作業領域が制限されているメモリ制限環境でも、基本的な幾何問題が効率的に解けることを示すこと。
• この制限付き計算モデルにおける幾何問題の時間・空間複雑度の理論的境界を確立すること。

提案手法

• 著者らは、A, B, C の3つの配列（それぞれ $O(\sqrt{n})$ のサイズ）を用いた3配列作業領域モデルを採用し、読み取り専用入力上で prune-and-search 操作をシミュレートする。
• 制限なしの2次元凸包に対しては、点をx座標で分割し、$\sqrt{n}$ 個のブロックに分け、中間保存領域を用いた2パス戦略により上側の凸包を段階的に計算する。
• 入力がx座標でソート済みである制限付き凸包に対しては、候補となる凸包頂点を維持し、勾配の中央値を求める手法を用いて制約を削除することで、prune-and-search を適用する。
• 2次元および3次元線形計画法に対しては、メギドの prune-and-search フレームワークを適応させ、テストライン手順と制約の削除を、$O(\log n)$ の追加領域のみでシミュレートする。
• 2次元線形計画法は、インプレースで $O(n)$ 時間と $O(1)$ 空間で解けることを利用し、読み取り専用モデルに拡張して $O(n^{1+\epsilon})$ 時間と $O(\log n)$ 空間を達成する。
• 主な革新点は、入力配列を変更せずに、中央値計算や制約の削除といった prune-and-search ステップを、小さな一時的作業領域のみでシミュレートできることにある。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 読み取り専用メモリモデルで作業領域が限られている環境において、prune-and-search パラダイムを幾何問題に効果的に実装できるか？
• RQ2 入力が読み取り専用で、作業領域が $O(n^{1/2})$ の場合に、2次元凸包を部分二次時間で計算できるか？
• RQ3 2次元および3次元線形計画法が、読み取り専用環境下で $O(n^{1+\epsilon})$ 時間と $O(\log n)$ の追加領域で解けるか？
• RQ4 入力データを変更できない状況で、作業領域がサイズの部分線形である場合に、幾何最適化問題を効率的に解く方法は何か？
• RQ5 読み取り専用で作業領域が限られたモデルにおける、基本的幾何問題の時間・空間のトレードオフは何か？

主な発見

• 本稿では、入力が読み取り専用で作業領域が部分線形なモデル下での2次元凸包に対する、$O(n^{3/2 + \epsilon})$ 時間と $O(n^{1/2})$ 空間で動作する、初めてのアルゴリズムを提示する。ここで $\epsilon$ は $\sqrt{\frac{\log\log n}{\log n}} < \epsilon < 1$ を満たす。
• 入力点がx座標でソート済みである制限付きケースでは、prune-and-search を用いて $O(n^{1+\epsilon})$ 時間と $O(\log n)$ の追加領域で凸包が計算可能である。
• 同じ手法により、2次元線形計画法も、読み取り専用モデル下で $O(n^{1+\epsilon})$ 時間と $O(\left(\log n\right))$ の追加領域で解ける。
• 3次元線形計画法問題に対しても、メギドの prune-and-search アルゴリズムの読み取り専用版を適用し、$O(n^{1+\epsilon})$ 時間と $O(\log n)$ 空間で解ける。
• 結果として、prune-and-search が読み取り専用環境で効果的にシミュレート可能であることが示され、メモリ制限下での基本的幾何問題に対する効率的解法が可能である。
• 本研究は、メモリ制限下で読み取り専用の環境において幾何計算を効率的に行うための新しいアルゴリズムクラスを確立し、外部計算およびインプレースアルゴリズム分野における技術的進歩をもたらした。