[论文解读] Convex Splitting Schemes Interpreted as Fully Implicit Schemes in Disguise for Phase Field Modeling

Jinchao Xu, Yukun Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2016

Solidification and crystal growth phenomena参考文献 33被引用 5

一句话总结

本文揭示了相场模型中的凸 splitting 格式（CSS）在数学上等价于伪装的全隐格式（FIS）—具体而言，Allen-Cahn 模型的标准 CSS 等价于时间步长更小的 FIS，而 Cahn-Hilliard 模型的 CSS 则对应于 FIS 的一个扰动版本。作者提出了一种改进的 FIS/CSS 格式，可保持离散最大值原理，并通过类似泊松的算子实现统一预条件化。

ABSTRACT

Convex splitting schemes (CSS in short) are among the most popular numerical schemes used in phase-field modeling. In this paper, we report a simple observation that some well-known CSS can be interpreted as some fully implicit schemes (FIS in short) in disguise. For the Allen-Cahn model, we prove that the standard CSS is exactly the same as the standard FIS but with a (much) smaller time step size and as a result, it would provide an approximation to the original solution of the Allen-Cahn model at a delayed time (although the magnitude of such a delay is reduced when the time step size is reduced). For the Cahn-Hilliard model, we prove that the standard CSS is exactly the same as the standard FIS for a different model that is a (nontrivial) perturbation of the original Cahn-Hilliard model. Motivated by such an equivalence between CSS and FIS, we propose a modification of a typical FIS or CSS for the Allen-Cahn so that the maximum principle will be valid on the discrete level and we further rigorously prove that, the linearization of such a modified FIS or CSS can be uniformly preconditioned by a Poisson-like operator.

研究动机与目标

• 阐明相场建模中凸 splitting 格式（CSS）与全隐格式（FIS）之间的数学关系。
• 确定在何种条件下，Allen-Cahn 和 Cahn-Hilliard 方程的 CSS 可被解释为伪装的 FIS。
• 提出一种改进的 FIS 或 CSS 格式，以在数值解中强制满足离散最大值原理。
• 通过类似泊松的算子建立线性化系统的统一预条件化，以提高迭代求解器的效率。

提出的方法

• 证明 Allen-Cahn 模型的标准 CSS 等价于时间步长减小的 FIS，导致解在时间上延迟。
• 证明 Cahn-Hilliard 模型的标准 CSS 恰好对应于原始模型经过非平凡扰动后的 FIS。
• 提出一种改进的 FIS 或 CSS 格式，确保在格式层面满足离散最大值原理。
• 分析改进格式的线性化形式，并证明其可被类似泊松的算子统一预条件化，从而保证收敛性鲁棒。
• 采用解析技术，在连续和离散设置下建立等价性与稳定性性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 凸 splitting 格式（CSS）在相场建模中与全隐格式（FIS）在数学上如何关联？
• RQ2 对于 Allen-Cahn 方程，CSS 解与对应 FIS 解之间的时间尺度关系为何？
• RQ3 Cahn-Hilliard CSS 在何种意义上等价于对扰动模型的 FIS？
• RQ4 能否构造一种改进的 FIS 或 CSS，以保持离散最大值原理？
• RQ5 由改进格式生成的线性系统是否可被类似泊松的算子统一预条件化？

主要发现

• Allen-Cahn 模型的标准凸 splitting 格式在数学上等价于时间步长更小的全隐格式，导致解在时间上延迟。
• 对于 Cahn-Hilliard 模型，标准 CSS 等价于对原始方程进行非平凡扰动后应用的全隐格式。
• 所提出的改进 FIS 或 CSS 确保在数值格式层面上满足离散最大值原理。
• 改进格式的线性化形式可被类似泊松的算子统一预条件化，从而保证收敛性与网格尺寸无关。