[論文レビュー] Cooperation principle, stability and bifurcation in random complex dynamics

Hiroki Sumi|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 22被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、多項式の一般的なランダム複素力学系において、生成子同士の自動的協調が生じるため、平均化された系におけるカオス的挙動が消滅し、安定性と遷移作用素の有限次元空間への指数的収束が生じることを確立している。また、脱出確率の偏微分を用いて複素版タカギ関数を定義し、パラメータに関して実解析的依存性とジュリア集合の残渣的集合上での非微分可能性を示した。

ABSTRACT

We investigate random complex dynamics of rational or polynomial maps on the Riemann sphere. We show that regarding random complex dynamics of polynomials, generically, the chaos of the averaged system disappears at any point in the Riemann sphere due to the automatic coopeartion of many kinds of maps in the system, even though each map of the system has a chaotic part. Moreover, we show that (1) the set of stable systems is open and dense in the space of random dynamical systems of polynomials, and (2) for a stable system, there exist at most finitely many minimal sets and each minimal set is attracting. These (1) and (2) solve a random analogy of the most famous open conjecture in complex dynamics "hyperbolic rational maps are dense in the space of rational maps." Furthermore, we show that for a stable system, the orbit of a Hölder continuous function under the transition operator tends exponentially fast to the finite-dimensional space $U$ of finite linear combinations of unitary eigenvectors of the transition operator. From this, we obtain that the spectrum of the transition operator acting on the space of Hölder continuous functions has a gap between the set of unitary eigenvalues and the rest. Combining this with the perturbation theory for linear operators, we obtain that for a stable system constructed by a finite family of rational maps, the projection to the space $U$ depends real-analytically on the probability parameters. By taking a partial derivative of the function of probability of tending to a minimal set with respect to a probability parameter, we introduce a complex analogue of the Takagi function, which is a new concept. Many new phenomena which can hold in random complex dynamics but cannot hold in usual iteration dynamics of a single rational map are found and systematically investigated.

研究の動機と目的

• リーマン球面上の独立同分布な有理写像によって生成される確率的力学系の長期的挙動を調査すること。
• 特に多項式族に対して、確率的複素力学系の安定性および分岐特性を分析すること。
• 有限個の吸引的最小集合の存在と、安定領域における遷移作用素の指数的収束を確立すること。
• パラメータ変動に関する脱出確率の導関数として定義される、タカギ関数の複素版を定義し、その性質を研究すること。
• ユニタリ固有ベクトルの有限次元空間への射影が、確率パラメータに関して実解析的であることを示すこと。

提案手法

• ジュリア集合の後退的自己相似性を活用して、有限個の有理写像族によって生成される有理写像半群の力学を分析する。
• ホルダー連続関数上の遷移作用素のスペクトル理論を適用し、収束性と安定性を研究する。
• 線形作用素の摂動論を用いて、射影が確率パラメータに関して実解析的であることを証明する。
• 複素版タカギ関数として、関数 $ \psi(z) = \left.\frac{\partial T_{\infty,\tau_a}(z)}{\partial a_1}\right|_{a=b} $ を定義する。
• 平均的安定性と最小集合の概念を用いて、長期的挙動を分類し、微分可能領域を同定する。
• フラクタル幾何学およびポアソン性の結果を応用して、ジュリア集合の性質と次元を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のランダム複素力学系の多項式系において、平均化された系にカオスが持続するか、それとも生成子間の協調によって抑制されるか？
• RQ2 どのような条件下で確率的力学系が安定するのか。安定性は最小集合の構造とどのように関係するか？
• RQ3 脱出確率関数 $ T_{\infty,\tau_a}(z) $ は確率パラメータにどのように依存するか。その導関数の性質は何か？
• RQ4 タカギ関数の複素版を定義できるか。また、どこで非微分可能となるか？
• RQ5 遷移作用素のスペクトル的性質とジュリア集合の幾何的構造との関係は何か？

主な発見

• 一般のランダム力学系の多項式系において、生成子同士の自動的協調により、平均化された系におけるカオス的挙動は消失する。
• 安定系の集合は、多項式のランダム力学系の空間において、開かつ稠密である。
• 安定系では、有限個の最小集合が存在し、それぞれが吸引的である。
• 任意のホルダー連続関数が遷移作用素のもとで生成する軌道は、ユニタリ固有ベクトルの有限線形結合からなる有限次元空間 $ U $ へ指数的速さで収束する。
• 安定系において、$ U $ への射影は確率パラメータに関して実解析的である。
• 脱出確率の導関数として定義されるタカギ関数の複素版は、ホルダー連続であり、ジュリア集合の非可算な稠密部分集合上で非微分可能である。