[論文レビュー] Correlation/Communication complexity of generating bipartite states

Rahul Jain, Yaoyun Shi+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2012

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、双粒子量子状態を生成するための量子および古典的相関・通信複雑度について、きつい特徴付けを確立する。純粋状態の量子相関複雑度は、その近似的ランクの対数によってきっちりと境界づけられ、古典的分布については正定値ランクによって特徴づけられ、これにより先行研究における非負および正定値ランクに関する未解決の問いが解消される。

ABSTRACT

We study the correlation complexity (or equivalently, the communication complexity) of generating a bipartite quantum state $ρ$. When $ρ$ is a pure state, we completely characterize the complexity for approximately generating $ρ$ by a corresponding approximate rank, closing a gap left in Ambainis, Schulman, Ta-Shma, Vazirani and Wigderson (SIAM Journal on Computing, 32(6):1570-1585, 2003). When $ρ$ is a classical distribution $P(x,y)$, we tightly characterize the complexity of generating $P$ by the psd-rank, a measure recently proposed by Fiorini, Massar, Pokutta, Tiwary and de Wolf (STOC 2012). We also present a characterization of the complexity of generating a general quantum state $ρ$.

研究の動機と目的

• 純粋状態の量子相関複雑度の理解におけるギャップを埋めるために、近似的ランクを用いた近似的生成の特徴付けを行う。
• 最近導入された正定値（psd）ランクを用いて、双粒子確率分布の古典的相関複雑度をきっちりと特徴づける。
• 双粒子状態生成における量子および古典的設定の通信および相関複雑度に関する先行結果を統合・拡張する。
• 量子通信複雑度が量子相関複雑度に正確に等しいことを確立し、以前に帰属されていた事実を確認する。

提案手法

• 近似的ランクを用いた近似的生成を許容する最小共有量子状態のサイズとして、近似的量子相関複雑度 $\mbox{\sf{Q}}_{\epsilon}(\rho)$ を定義する。
• 純粋化のSランクの概念を用い、状態の複雑度を行列表現のランクに関連付ける。
• 各$x,y$に対して$\mathrm{tr}(C_x D_y) = P(x,y)$を満たす正定値行列$C_x$および$D_y$を用いて、古典的状態$\rho$の純粋化を構築し、$P$の正定値ランクと量子相関複雑度を結びつける。
• 行列因子分解とトレース演算を用い、古典的$\rho$に対して、$\rho$を生成する最小共有状態のサイズが$\lceil \log_2 \mathrm{rank}_{\mathrm{psd}}(P) \rceil$に等しいことを証明する。
• 通信と相関複雑度モデルを統合するために、$\mbox{\sf{QComm}}(\rho) = \mbox{\sf{Q}}(\rho)$であるという事実を活用する。
• 正定値行列の双対性および性質を用い、任意のこのような因子分解のランクが$\mathrm{rank}_{\mathrm{psd}}(P)$以上でなければならないことを示し、きつさを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 純粋な双粒子量子状態を近似的に生成する際の正確な量子相関複雑度は何か？
• RQ2 古典的結合分布の正定値ランクは、その古典的相関複雑度とどのように関係するか？
• RQ3 ある状態の量子通信複雑度が、その量子相関複雑度に正確に等しくなることは可能か？
• RQ4 与えられた双粒子量子状態を高い忠実度で生成するために必要な共有量子状態の最小サイズは何か？
• RQ5 正定値ランクは、双粒子分布の古典的相関複雑度を特徴付けるのに適切な測度か？

主な発見

• 純粋状態$|\psi\rangle\langle\psi|$の量子相関複雑度は、$\lceil \log_2 \mathrm{rank}_\epsilon(A) \rceil$によってきっちりと境界づけられ、ここで$A$は振幅行列であり、$\mathrm{rank}_\epsilon(A)$は$\ell_2$ノルムにおいて$A$に$\epsilon$-近い最小ランクの行列である。
• 古典的双粒子分布$P(x,y)$に対して、古典的相関複雑度$\mbox{\sf{R}}(P)$は正確に$\lceil \log_2 \mathrm{rank}_{\mathrm{psd}}(P) \rceil$に等しく、これにより先行研究で残されていたギャップが解消される。
• 任意の双粒子状態$\rho$に対して、量子通信複雑度$\mbox{\sf{QComm}}(\rho)$は量子相関複雑度$\mbox{\sf{Q}}(\rho)$に等しく、以前に帰属されていた事実が確認される。
• Sランク$r$を持つ古典的状態$\rho$の任意の純粋化は、ランクが高々$r$である$P$の正定値因子分解を生じる。これにより、複雑度の下界が証明される。
• $\rho$が古典的状態であるとき、$\rho$を生成する最小共有量子状態のサイズは正確に$\lceil \log_2 \mathrm{rank}_{\mathrm{psd}}(P) \rceil$に等しい。
• 本稿は、計算基底における密度行列の正定値ランクを用いて、一般の量子状態の量子相関複雑度を完全に特徴づける。