[論文レビュー] Correlation Functions of Classical and Quantum Artin System defined on Labachevsky Plane and Scrambling Time

Hrachya M. Babujian, George Savvidy+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、双曲的ラバチェフスキー平面におけるアーティン系の量子カオスを、熱的量子相関関数および時序外相関関数を用いて調査する。2点および4点関数の指数的減衰と、二乗交換子の指数的増大が示され、古典的カオスの特徴が量子系で確認されるが、増大率はカオス境界に達しない。

ABSTRACT

We consider the quantisation of the Artin dynamical system defined on the fundamental region of the modular group. In classical regime the geodesic flow in the fundamental region represents one of the most chaotic dynamical systems, it has mixing of all orders, Lebesgue spectrum and non-zero Kolmogorov entropy. As a result, the classical correlation functions decay exponentially. In order to investigate the influence of the classical chaotic behaviour on the quantum-mechanical properties of the Artin system we calculated the corresponding thermal quantum-mechanical correlation functions. It was conjectured by Maldacena, Shenker and Stanford that the classical chaos can be diagnosed in thermal quantum systems by using an out-of-time-order correlation function as well as the square of the commutator of operators separated in time. We demonstrated that the two- and four-point correlation functions of the Louiville-like operators decay exponentially with a temperature dependent exponent. As conjectured the square of the commutator of the Louiville-like operators separated in time grows exponentially, similar to the exponential divergency of trajectories in the classical regime. The corresponding exponent does not saturate the maximal growth condition.

研究の動機と目的

• アーティン系における古典的カオスが、量子力学的相関関数にどのように現れるかを調査すること。
• 時序外相関関数を用いて、量子カオスに関するマルダセナ＝シャンカー＝スターンの予想を検証すること。
• 双曲的平面における熱的量子系におけるルイヴィル型演算子の振る舞いを分析すること。
• この系における量子交換子の増大率が、最大カオス境界に達するかどうかを特定すること。

提案手法

• 双曲的ラバチェフスキー平面におけるモジュラー群の基本領域におけるアーティン力学系の正準化。
• ルイヴィル型演算子の2点および4点関数の熱的量子力学的相関関数の計算。
• 時間的に分離されたルイヴィル型演算子の二乗交換子の評価により、量子カオスを調べること。
• 指数的発散およびコルモゴロフ＝シンアイエントロピーといった古典的カオス指標と関連して、減衰および増大率の分析。
• 量子カオスの診断に、時序外相関関数形式を用いること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーティン系のような古典的カオス系において、熱的量子相関関数はどのように振る舞うか？
• RQ2 時間的に分離された演算子の二乗交換子は、どの程度時間とともに指数的に増大するか、古典的カオスを反映しているか？
• RQ3 この系における量子交換子増大率は、最大カオス境界に達するか？
• RQ4 相関関数の減衰の温度依存性は、古典的混合およびエントロピーとどのように関係するか？

主な発見

• ルイヴィル型演算子の2点および4点相関関数は、温度に依存する指数関数的減衰を示す。
• 時間的に分離されたルイヴィル型演算子の二乗交換子は指数的に増大し、古典的軌道の指数的発散を模倣する。
• 交換子増大の指数は、マルダセナ＝シャンカー＝スターンの予想が予測する最大増大率境界に達しない。
• 結果として、古典的カオスの特徴である指数的減衰および指数的交換子増大が、アーティン系の量子系でも保存されていることが確認された。