[論文レビュー] Correlation length for amorphous systems

Jorge Kurchan, Dov Levine|ArXiv.org|Apr 30, 2009

Material Dynamics and Properties被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、ガラスのようなアモルファス系における隠れた秩序を特徴付ける幾何的相関長さ ℓ₀ を提案する。この長さは、サイズ ℓ の同一空間的パッチがどの程度頻繁に再現されるかを測定する。理想ガラス状態では、密度パターンの部分的拡張性の複雑さのため ℓ₀ が発散し、力学的・相互作用的要因に依存しない長距離幾何的秩序が存在することを示唆する。

ABSTRACT

Crystals and quasicrystals can be characterized by an order that is a purely geometric property of an instantaneous configuration, independent of particle dynamics or interactions. Glasses, on the other hand, are ostensibly amorphous arrangements of particles. A natural and long-standing question has been whether they too have, albeit in a hidden way, some form of geometric order. Here we define a coherence length that applies to systems which are typically characterized as amorphous, as well as to those that are conventionally ordered. We argue that the divergence of such a length is consistent with current theories of the `ideal' glass transition.

研究の動機と目的

• 力学的・相互作用的要因に依存しない、秩序系およびアモルファス系に適用可能な幾何的相関長さを定義すること。
• ガラスが外見上アモルファスであるにもかかわらず、隠れた幾何的秩序を有するかどうかという長年の問いに応えること。
• この相関長さの発散と理想ガラス転移の間の関係を確立すること。RFOT理論などの予測と一致する。
• 理想ガラス状態における密度パターンの部分的拡張性の複雑さが、空間モチーフの頻繁な再現を引き起こし、長距離幾何的秩序を示唆することを示すこと。

提案手法

• パッチ再現が体積に従って指数的から非指数的へと転じるスケールとして、coherence length ℓ₀ を定義する。
• 体積 V ∼ ℓ^d の同一パッチの再現距離 𝒟(ℓ) を用いて ℒ₀ のスケーリングを推定する。べき則的スケーリング 𝒟 ∼ ℓ^μ は ℓ₀ = ∞ を示し、指数的スケーリングは有限な ℓ₀ を示す。
• サイズ ℓ の領域 Σ が、隣接領域 Σ′（体積 αV）の配置を決定するという制約を適用する。これにより Ω(αV) = γΩ(V) が成り立ち、Ω(V) は可能な配置数を表す。
• γ = 定数 から Ω(V) ∼ V^{μd} のスケーリングを導出し、μ = lnγ / (d ln α) を得る。これによりべき則的再現距離と関連づける。
• 凍結配置と平衡化の思考実験を用い、隣接領域が局所的パッチによって制約されているかどうかをテストする。これは理想ガラス状態を模倣する。
• ピンホイールやワングタイルなどの再帰的タイリングモデルを分析し、グレインバウンダリーや局所的ルール違反といった欠陥が ℓ₀ をどのように低下させるかを示す。その結果、ℓ₀ ≈ 欠陥間隔 となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 力学的・相互作用的要因に依存せず、アモルファス系に適用可能な純粋な幾何的相関長さを定義できるか？
• RQ2 この相関長さ ℓ₀ の発散は、RFOT理論などの予測通り、理想ガラス転移に対応するか？
• RQ3 無限大系において同一空間的パッチの再現が、ガラスにおける長距離幾何的秩序をどの程度示唆するか？
• RQ4 タイリングにおける欠陥（例：グレインバウンダリー、局所的ルール違反）は、アモルファス系や準結晶系において相関長さ ℓ₀ をどのように低下させるか？
• RQ5 再帰的タイリング規則やインフレーション対称性は、理想ガラス状態における ℓ₀ の発散を説明できるか？

主な発見

• 理想ガラス状態では相関長さ ℓ₀ が発散し、任意のサイズの空間的パターンが頻繁に再現されることを示し、長距離幾何的秩序が存在することを示唆する。
• 再現距離 𝒟(ℓ) は ℓ₀ = ∞ のときべき則的スケーリング 𝒟 ∼ ℓ^μ を示すが、相関のない系では指数的スケーリングを示す。
• 密度プロファイルの部分的拡張性の複雑さ（ln Ω(V) ∝ V^μ かつ μ < 1）は、べき則的再現を引き起こし、結果として ℓ₀ の発散をもたらす。
• 局所的欠陥（例：ワングタイル）を有する系では、ℓ₀ は「硬い」欠陥（除去に高エネルギーを要する）間隔にほぼ等しくなる。
• 多結晶系や欠陥を有する系では相関長さ ℓ₀ は有限であり、その値は欠陥で囲まれた一貫性領域の典型的なサイズによって決定される。
• 本モデルは、粒子・高分子・連続的密度を含む任意の構成粒子系に普遍的に適用可能であり、平衡状態や特定の相互作用を必要としない。