[論文レビュー] Correlations and spectral gap in harmonic quantum systems on generic lattices

M. Cramer, Jens Eisert|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2005

Quantum and electron transport phenomena被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、一般の格子上の調和量子系におけるスペクトルギャップと相関関数の崩壊の間の厳密な関係を確立し、ギャップを持つ系では、基底状態および熱状態の両方において相関関数が指数関数的に崩壊することを証明する。逆に、相関関数の代数的または指数的崩壊が成立するならば、系にエネルギーギャップが存在することを示し、非整数次元の格子および局所的二次相互作用を有する準自由ガウス状態へとこれらの結果を拡張する。

ABSTRACT

We investigate the relationship between the gap between the energy of the ground state and the first excited state and the decay of correlation functions in harmonic lattice systems. We prove that in gapped systems, the exponential decay of correlations follows for both the ground state and thermal states. Considering the converse direction, we show that an energy gap can follow from algebraic decay and always does for exponential decay. The underlying lattices are described as general graphs of not necessarily integer dimension, including translationally invariant instances of cubic lattices as special cases. Any local quadratic couplings in position and momentum coordinates are allowed for, leading to quasi-free (Gaussian) ground states. We make use of methods of deriving bounds to matrix functions of banded matrices corresponding to local interactions on general graphs. Finally, implications on entanglement-area relationships in harmonic lattice systems are outlined.

研究の動機と目的

• 調和量子系におけるスペクトルギャップと相関関数の崩壊速度の間の厳密な関係を確立すること。
• 標準的格子を超えた任意のグラフ、非整数次元への相関関数の崩壊とスペクトルギャップに関する結果の一般化。
• 位置と運動量における局所的二次結合を有する系を分析し、準自由ガウス基底状態を導くこと。
• 一般のグラフ上での局所的相互作用を表す帯行列の行列関数の境界を導出すること。
• 調和格子系におけるエンタングルメント面積則への影響を検討すること。

提案手法

• 一般のグラフ上での局所的相互作用に対応する帯行列の行列関数を評価する数学的技法を用いる。
• 局所的二次相互作用を有するハミルトニアンのスペクトル的性質を解析するために関数計算を適用する。
• 相関関数の崩壊とスペクトルギャップの文脈において、基底状態および熱状態を両方検討する。
• 非整数次元格子を持つ系へと結果を拡張し、並進不変性を持つ立方格子を特別な場合として含む。
• 行列解析および作用素論の手法を用いて、相関関数の崩壊推定を導出する。
• 指数的または代数的崩壊が相関関数に成立する場合に、スペクトルギャップの存在が保証される条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 調和格子系において、スペクトルギャップが相関関数の指数的崩壊をもたらす条件は何か？
• RQ2 相関関数の崩壊性質から、スペクトルギャップの存在を同定できるか？
• RQ3 非整数次元を持つ一般のグラフ上に定義された調和系では、相関関数の崩壊とスペクトルギャップはどのように振る舞うか？
• RQ4 準自由調和系における相関関数の崩壊とエンタングルメント面積則の関係は何か？
• RQ5 位置と運動量座標における局所的二次相互作用は、スペクトルギャップおよび相関構造にどの程度影響を及ぼすか？

主な発見

• ギャップを持つ調和系では、基底状態および熱状態の両方において、相関関数が指数関数的に崩壊する。
• 逆に、相関関数が指数的に崩壊するならば、系にスペクトルギャップが存在しなければならない。
• 相関関数の代数的崩壊が成立する場合でも、崩壊が十分に速いならば、スペクトルギャップが存在することが保証される。
• 結果は、非整数次元格子や並進不変性を持つ立方格子を含む任意のグラフに対して成立する。
• 局所的二次結合を有する系にこの枠組みを適用でき、準自由ガウス基底状態が得られる。
• 相関関数の崩壊とスペクトル性質を通じて、調和格子系におけるエンタングルメント面積則を理解する基盤が提供される。