[論文レビュー] Corrigendum to the paper, "A new iteration process for approximation of common fixed points for finite families of total asymtotically nonexpansive mappings". Int. J. Math. Math. Sci. vol. 2009, doi:10.1155/2009/615107

C.E. Chidume, Eric U. Ofoedu|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2010

Optimization and Variational Analysis参考文献 6被引用数 9

ひとこと要約

この訂正は、有限個の全漸近的非拡大写像の共通不動点の反復近似に関する以前の論文における定理3.5の証明に見られる欠陥を是正する。コンパクト性および一様凸バナッハ空間の性質を活用することで、均一連続性に依存しないより弱い条件下で、反復列の強収束を確立する。

ABSTRACT

A gap in the proof of Theorem 3.5 in the paper ``A new iteration process for approximation of common fixed points for finite families of total asymtotically nonexpansive mappings". Int. J. Math. Math. Sci. vol. 2009, doi:10.1155/2009/615107" is observed. The argument used on page 11, starting from line 8 from bottom to the end of the proof of the theorem is not correct. In this corrigendum, it is our aim to close this gap.

研究の動機と目的

• 元の論文における共通不動点の反復近似に関する定理3.5の証明に内在する論理的誤りを特定・是正すること。
• 有限個の全漸近的非拡大写像の族によって生成される反復列の収束結果の正当性を回復すること。
• 特に、\|x_{n+1}-x_n\| \to 0 が \|T^{n+1}x_{n+1}-T^{n+1}x_n\| \to 0 を意味するとする主張を含む、均一連続性の不適切な仮定を排除すること。
• 列 \mu_{in} および l_{in} のコンパクト性および可 summable 条件のもとで、反復列が共通不動点に強収束することを証明すること。
• 修正された証明が、写像に最小限の仮定で成立する一様凸実バナッハ空間においても有効であることを示すこと。

提案手法

• 反復列 \{x_n\} を凸結合として再表現する：x_{n+1} = \alpha_{0n}x_n + \sum_{i=1}^m \alpha_{in}T_i^n x_n、ここで \alpha_{in} \in [0,1] かつ \sum_{i=0}^m \alpha_{in} = 1。
• \|x_{n+1} - x_n\| \leq \gamma_2 \sum_{i=1}^m \|T_i^n x_n - x_n\| による上限を用いて \|x_{n+1} - x_n\| \to 0 を確立し、また、補題8の関数 g の性質を用いて \|T_i^n x_n - x_n\| \to 0 を示す。
• 写像 T_i の一つがコンパクトであることを仮定して（均一連続性は不要）、収束する部分列 T_i^{n_k}x_{n_k} \to x^* を抽出する。
• x_n および T_i^n x_n が x^* に収束すること、および T_i の連続性を用いて、すべての i に対して x^* = T_i x^* を示し、F に属することを証明する。
• 定理10を適用して、任意の p \in F に対して \lim_{n\to\infty} \|x_n - p\| が存在することを確認し、x^* \in F への強収束を結論づける。
• T(x) = 3x および x_n = 1 + \frac{1}{n} を用いた反例により、\|x_{n+1}-x_n\| \to 0 が \|T^{n+1}x_{n+1}-T^{n+1}x_n\| \to 0 を意味するとする誤った仮定を反証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 元の証明における定理3.5の欠陥は何か？特に、全漸近的非拡大写像に対する反復列の収束に関するものである。
• RQ2 写像の均一連続性を仮定せず、反復列が共通不動点に強収束することを示せるか？
• RQ3 元の証明で \|x_{n+1}-x_n\| \to 0 が \|T^{n+1}x_{n+1}-T^{n+1}x_n\| \to 0 を意味するとする主張を、より厳密な手法に置き換えた場合、収束結果は依然有効か？
• RQ4 列 \mu_{in} および l_{in} にどのような条件下で、反復スキームは共通不動点に強収束するか？
• RQ5 写像族の一つのコンパクト性を用いて、均一連続性やより強い有界性仮定を必要とせずに収束を保証できるか？

主な発見

• 元の証明には重大な誤りが含まれる：\|x_{n+1}-x_n\| \to 0 が \|T^{n+1}x_{n+1}-T^{n+1}x_n\| \to 0 を意味するとする主張は、T(x) = 3x および x_n = 1 + \frac{1}{n} を用いた反例により無効である。
• 修正された証明では、補題8の関数 g の性質を用いて、すべての i = 1,2,\dots,m に対して \|T_i^n x_n - x_n\| \to 0 が示される。
• 写像 T_i の一つがコンパクトであるという仮定のもとで、\{x_n\} が共通不動点 p \in F = \bigcap_{i=1}^m F(T_i) に強収束することを証明した。
• 収束結果は一様凸実バナッハ空間において成立し、反復列は x_n と T_i^n x_n の凸結合として定義される。
• 証明は写像の均一連続性に依存しなくなったため、従来の文献における主要なギャップが解消された。
• 定理3.6の修正版は、\sum \mu_{in} < \infty、\sum l_{in} < \infty および一つの T_i がコンパクトである場合に、\phi_i(\lambda_i) \leq M_i^* \lambda_i を \lambda_i \geq M_i に対して満たす場合に強収束を保証する。