[論文レビュー] Cosmological Polytopes and the Wavefunction of the Universe

Nima Arkani–Hamed, Paolo Benincasa+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 10被引用数 80

ひとこと要約

この論文は、スカラーの玩具モデルにおける宇宙の遅い時刻の波動関数を宇宙論ポリトープの標準形と結びつけ、摂動的波動関数とその特異性の幾何駆動の枠組みを確立します。

ABSTRACT

We present a connection between the physics of cosmological time evolution and the mathematics of positive geometries, roughly analogous to similar connections seen in the context of scattering amplitudes. We consider the wavefunction of the universe in a class of toy models of conformally coupled scalars (with non-conformal interactions) in FRW cosmologies. The contribution of each Feynman diagram to the wavefunction of the universe is associated with a certain universal rational integrand, which we identify as the canonical form of a "cosmological polytope", which have an independent, intrinsic definition, making no reference to physics. The singularity structure of the wavefunction for this model of scalars is common to all theories, and is geometrized by the cosmological polytope. Natural triangulations of the polytope reproduce the path-integral and "old-fashioned perturbation theory" representations of the wavefunction, and we also find new representations of the wavefunction with no extant physical interpretation. We show in suitable examples how symmetries of the cosmological polytope descend to symmetries of the wavefunction, (such as conformal invariance). In cases such as $ϕ^3$ theory in $dS_4$, the final wavefunction obtained from integration of the rational functions gives rise to polylogarithms associated with every graph. We give an explicit expression for the symbol of these polylogs, which record the geometry of sequential projections of the cosmological polytope.

研究の動機と目的

• 宇宙の時間発展と宇宙の波動関数との関係を動機づけ、形式化する。
• 時間に依存しないオブジェクトとして宇宙論ポリトープを導入し、その標準形が波動関数の積分項を生み出す。
• 三角分割と双対ポリトープが巨大時刻積分と古典的摂動論に対応することを示す。
• 特定のモデルにおける対称性と多対数構造を示し、ポリトープ幾何と波動関数の性質を関連づける。

提案手法

• FRW宇宙論における時間依存結合を持つ玩具スカラー場モデルのクラスを定義する。
• 波動関数を摂動的に計算し、各 Feynman 図に関連する普遍的な有理積分関数 psi(x_v,y_e) を導出する。
• グラフから宇宙論ポリトープを導入し、頂点は基底ベクトル x_v および y_e によって与えられ、グラフの各辺につき3E個のポリトープ頂点を持つ。
• ポリトープのcanonical formを用いて、全てのファセットで対数的特異性をもつ波動関数の積分を得る。
• ポリトープとその双対の自然な三角分割を介して、時間積分表現と古典的摂動論を関連付ける。
• コントゥール積分とプッシュフォワードを介したcanonical formsの新しい表現を、宇宙論的設定に適用可能な形で議論する。
• ディSitter コンテキストにおける共形不変性を含む対称性の含意を提示し、特定の理論でポリロガリズム構造を抽出し始める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 宇宙の波動関数を正の幾何学の canonical form に再構成するにはどうすればよいか？
• RQ2 宇宙論的時間進化と宇宙論ポリトープの幾何学的構造との厳密な関係は何か？
• RQ3 宇宙論ポリトープの異なる三角分割は、バルクの時間積分と境界摂動論とどう関連するか？
• RQ4 宇宙論ポリトープのどの対称性が波動関数に伝播し、de Sitter 相関にどのように現れるか？
• RQ5 例えば dS4 における c6^3 理論のような特定のモデルにおける最終波動関数は、ポリロガリズムとそのシンボルの観点からどのような性質を持つか？

主な発見

• 各Feynman図は、宇宙論ポリトープのcanonical formと同定できる普遍的な有理積分関数を寄与する。
• ポリトープの三角分割はバルクの時間積分表現に対応し、双対ポリトープの三角分割は古典的摂動論を再現する。
• コントゥール積分とプッシュフォワードによる新しいポリトープ表現は、直接的な物理的解釈を伴わない代替的な波動関数表現をもたらす。
• 宇宙論ポリトープの対称性（たとえば de Sitter 空間における共形不変性）は、波動関数の対称性として現れる。
• dS4 における φ^3 理論では、積分波動関数はポリロガリズム的で、そのシンボルはポリトープの連続的投影の幾何を計算可能な形で符号化する。