[論文レビュー] Cosmological Polytopes and the Wavefuncton of the Universe for Light States

Paolo Benincasa|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2019

Cosmology and Gravitation Theories被引用数 24

ひとこと要約

本稿では、正準形式の退化極限を介して、軽量スカラー状態の宇宙の波動関数と平坦空間散乱振幅を統一する一般化された宇宙多面体フレームワークを導入する。質量のあるスカラー波動関数の再帰関係は、質量ゼロの種となるものに作用する微分作用素から生じ、波動関数のすべての特異性は、多面体の高次元の面を通じて平坦空間過程に対応し、極の位数は面の次元の差に一致する。

ABSTRACT

We extend the investigation of the structure of the late-time wavefunction of the universe to a class of toy models of scalars with time-dependent masses and polynomial couplings, which contains general massive scalars in FRW cosmologies. We associate a universal integrand to each Feynman diagram contributing to the wavefunction of the universe. For certain (light) masses, such an integrand satisfies recursion relations involving differential operators, connecting states with different masses and having, as a seed, the massless scalar (which describes a conformally coupled scalar as a special case). We show that it is a degenerate limit of the canonical form of a generalisation of the cosmological polytopes describing the wavefunction for massless scalars. Intriguingly, the flat-space scattering amplitude appears as a higher codimension face: it is encoding the leading term in the Laurent expansion as the total energy is taken to zero, with the codimension of the face providing the order of the total energy pole. The same connection between the other faces and the Laurent expansion coefficients holds for the other singularities of the wavefunction of the universe, all of them connectable to flat-space processes. As the degenerate limit is taken, some of the singularities of the canonical form of the polytope collapse onto each other generating higher order poles. Finally, we consider the mass as a perturbative coupling, showing that the contribution to the wavefunction coming from graphs with mass two-point couplings can be identified with a degenerate limit of the canonical form of the cosmological polytope, if the perturbative expansion is done around the conformally coupled state; or as double degenerate limit of the canonical form of the extension of the cosmological polytopes introduced in the present paper, if the perturbative expansion is done around minimally coupled states.

研究の動機と目的

• FRW背景における時間に依存する質量および多項式結合を持つ質量のあるスカラー場への宇宙多面体形式の拡張。
• このクラスのモデルにおける宇宙の波動関数の後期の普遍的被積分を特定すること。
• 波動関数の特異性と平坦空間散乱振幅との間に、一般化された多面体の幾何的面を通じた接続を確立すること。
• 摂動的質量展開が一般化された多面体の正準形式の退化極限とどのように関係するかを調査すること。
• グラフと多面体の背後にある組合せ的構造を分析することで、この形式をスピンがより高い状態へ拡張するための基盤を築くこと。

提案手法

• 時間に依存する質量を持つ質量のあるスカラー模型における、宇宙の波動関数に寄与する各ファインマン図式に普遍的被積分を関連付ける。
• 異なる質量の状態を関連付ける微分作用素を用いて、波動関数被積分の再帰関係を導出する。質量ゼロのスカラーを種とみなす。
• 辺に重みが付いたグラフを含めるように、宇宙多面体構成を一般化する。三角形は2地点のグラフを表し、線段はタッドポールを表す。
• 中点で三角形と線段を交差させることで新しいクラスの多面体を構成し、その正準形式の退化極限が元の形式の微分を生成することを示す。
• 平坦空間散乱振幅を一般化された多面体の高次元の面として特定し、その次元の差が、全エネルギーゼロまわりのローラン展開における極の位数に一致することを示す。
• 外部部分グラフの位置を中心とする錐を通じた標準的宇宙多面体の射影を用いて、外部タッドポールを含むグラフに対応する多面体を生成し、摂動的質量展開と結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 FRW宇宙論における質量のあるスカラー場の宇宙の波動関数を、普遍的被積分を用いて体系的に記述する方法は何か？
• RQ2 波動関数被積分における多重極の幾何的起源は何か？ また、多面体の正準形式の特異性とどのように関係するか？
• RQ3 平坦空間散乱振幅は、一般化された宇宙多面体構成の中でどのように部分構造として出現するか？
• RQ4 質量ゼロのスカラー状態が、軽い質量の波動関数の再帰関係の種として果たす役割は何か？
• RQ5 波動関数の質量に関する摂動展開を、一般化された宇宙多面体の正準形式の退化極限として解釈できるか？

主な発見

• 軽量スカラー状態の波動関数被積分は、質量ゼロの種に作用する微分作用素によって生成される再帰関係を満たし、共形に結合された場合の一般化である。
• 一般化された宇宙多面体は、三角形（2地点のグラフ）と線段（タッドポール）を中点で交差させることで構成され、その正準形式の退化極限が元の形式の微分を生成する。
• 平坦空間散乱振幅は、一般化された多面体の高次元の面として出現し、その面の次元の差は、全エネルギーゼロまわりのローラン展開における極の位数に等しい。
• 波動関数被積分のすべての特異性は、多面体の面に幾何学的に符号化されており、それぞれが異なる平坦空間過程に対応する。
• 質量を摂動的に扱う場合、2点の質量結合の寄与は、質量ゼロ状態の周りで展開するならば正準形式の退化極限に対応し、最小結合状態の周りで展開するならば二重退化極限に対応する。
• 多面体構成は、波動関数の構造の幾何的実現を提供し、グラフの和が自然に多面体の組合せ的・微分幾何に符号化されている。