[論文レビュー] Cospans and spans of graphs: a categorical algebra for the sequential and parallel composition of discrete systems

L. de Francesco Albasini, N. Sabadini+1 more|ArXiv.org|Sep 23, 2009

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 16被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、グラフのコスパンとスパンに基づくカテゴリカル代数を導入し、データ型を備えた離散的システムの逐次的および並列的構成をモデル化する。従来の有限状態制御の研究を拡張し、分配圏を介してデータ構造を組み込むことで、チューリング完全な計算、並行処理、階層構造、幾何変換を統合的にサポートする実装可能なプログラミング言語の構築を可能にする。

ABSTRACT

We develop further the algebra of cospans and spans of graphs introduced by Katis, Sabadini and Walters for the sequential and parallel composition of processes, adding here data types.

研究の動機と目的

• 離散的システムのコスパンとスパンのカテゴリカル代数を、有限状態制御を超えてデータ型を含めるように拡張すること。
• 逐次的および並列的構成をサポートする、形式的かつ実装可能なプログラミング言語を、データ構造を含めて開発すること。
• 並列処理、階層構造、幾何変換の古典的問題が、この代数的枠組み内でどのようにモデル化できるかを示すこと。
• 広義の圏における行列計算を通じて、データに注意を払うプログラムと有限オートマトンとの間の関係を確立すること。
• 先行・後続演算を備えたエルドットオートマトンに類似させることで、得られたシステムがチューリング完全であることを示すこと。

提案手法

• 論文は、逐次的構成のためにコスパン、並列的構成のためにスパンを用いてシステムをモデル化し、インターフェースをグラフ準同型で定義する。
• グラフとグラフ準同型の圏を用いたカテゴリカル枠組みを導入し、コスパンの合成には余帰納（プッシュアウト）、スパンの合成には帰納（プルバック）を用いる。
• データ型は分配圏を用いて統合され、直接和演算と行列計算が可能となり、制御構造とデータ操作の間のリンクが可能になる。
• 基本的な操作（例：pred, succ, ∇, η, ε, 1）を備えたコスパン・スパン言語としてシステムを形式化する。
• プログラムはこれらの操作の合成として表現され、評価により中心となるグラフ内のパスとしてのシステムの振る舞いが得られる。
• 階層的構成と幾何変換は、並列システムに対する逐次的演算を通じてサポートされ、分配法則によりネストされた構造の平坦化が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カテゴリカルな構成（コスパンとスパンを用いたもの）を、離散的システムモデルにデータ型を含めるようにどのように拡張できるか。
• RQ2 コスパンとスパンに基づくプログラミング言語に、データ操作を追加することでチューリング完全な計算が可能になるか。
• RQ3 この代数的枠組みを用いて、データを含む状態で、古典的な並列処理の問題をどのようにモデル化・合成できるか。
• RQ4 この枠組みにおいて、分配法則が階層的システム構造の平坦化に果たす役割は何か。
• RQ5 並列システムの逐次的構成によって、システムの幾何的構造の変化をどのように表現できるか。

主な発見

• 直接和の広義の圏における行列計算により、データに注意を払うプログラムとその制御構造を明示的に表現できる。
• コスパン・スパン代数にデータ型を組み込むことで、エルドットオートマトン（先行・後続演算付き）に類似させることでチューリング完全性が示された。
• 基本的な操作（pred, succ, ∇ など）の合成を通じて、自然数の加法のような逐次的プログラミングが表現可能である。
• 共有インターフェースとラベル付き遷移を備えた並列的システムの合成により、相互排他や同期といった古典的並列処理問題をモデル化できる。
• 分配法則を用いることで、階層的システム構造を構築・平坦化でき、モジュラーなシステム設計と合成が可能になる。
• 並列システムの逐次的構成により、システム構造の幾何的変換が実現可能であり、データを無視した先行研究を一般化する。