[論文レビュー] Counterexamples to the List Square Coloring Conjecture

Seog‐Jin Kim, Boram Park|arXiv (Cornell University)|May 12, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、任意の素数 $ n \geq 3 $ に対して、$ G^2 $ が完全多部グラフ $ K_{n*(2n-1)} $ に一致するグラフ $ G $ を構成することにより、リスト2乗彩色予想を反証した。$ \chi_l(G^2) - \chi(G^2) \geq n-1 $ であることを示し、無限に多くの反例を提示し、グラフの2乗におけるリスト彩色数と彩色数の差が任意に大きく取り得ることを示した。

ABSTRACT

The square $G^2$ of a graph $G$ is the graph defined on $V(G)$ such that two vertices $u$ and $v$ are adjacent in $G^2$ if the distance between $u$ and $v$ in $G$ is at most 2. Let $χ(H)$ and $χ_l(H)$ be the chromatic number and the list chromatic number of $H$, respectively. A graph $H$ is called {\em chromatic-choosable} if $χ_l (H) = χ(H)$. It is an interesting problem to find graphs that are chromatic-choosable. Kostochka and Woodall \cite{KW2001} conjectured that $χ_l(G^2) = χ(G^2)$ for every graph $G$, which is called List Square Coloring Conjecture. In this paper, we give infinitely many counterexamples to the conjecture. Moreover, we show that the value $χ_l(G^2) - χ(G^2)$ can be arbitrary large.

研究の動機と目的

• すべてのグラフ $ G $ に対して $ \chi_l(G^2) = \chi(G^2) $ が成り立つと主張するリスト2乗彩色予想を反証すること。
• $ \chi_l(G^2) > \chi(G^2) $ となる明示的な反例を構成し、予想を否定すること。
• $ \chi_l(G^2) - \chi(G^2) $ の差を任意に大きくできることを示すこと。
• 完全多部グラフ $ K_{n*(2n-1)} $ がこのような反例を生成するための重要な構造を果たすことを確立すること。

提案手法

• $ n^2 $ 個の頂点 $ P $ と $ n(n-1) $ 個の頂点 $ Q $ を用いてグラフ $ G $ を構成し、$ n $ 次の直交ラテン方陣によって辺を定義する。
• $ i \in [n-1] $ に対して $ L_i(j,k) = j + i(k-1) \mod n $ を定義し、$ n $ が素数のとき、$ n-1 $ 個の互いに直交するラテン方陣の族を形成する。
• $ G^2 $ において、$ P $ に誘導される部分グラフが $ K_{n*n} $（部集合 $ P_1, \dots, P_n $ を持つ）であり、$ Q $ に誘導される部分グラフが $ K_{n*(n-1)} $（部集合 $ Q_1, \dots, Q_{n-1} $ を持つ）であることを証明する。
• 辺を互いに素なクリーク分解と数え上げの議論を用いて、$ G^2 $ が $ 2n-1 $ 個のサイズ $ n $ の部集合を持つ完全多部グラフ $ K_{n*(2n-1)} $ と同型であることを示す。
• 定理2.10を適用して $ K_{n*(2n-1)} $ のリスト彩色数の上限を導出し、$ \chi_l(K_{n*(2n-1)}) > (n-1)\lfloor (4n-3)/n \rfloor \geq 3(n-1) $ を示す。
• 結論として、$ \chi_l(G^2) - \chi(G^2) \geq n-1 $ であり、すべての素数 $ n \geq 3 $ に対して等号が成立しうることを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リスト2乗彩色予想に反するように、$ \chi_l(G^2) \neq \chi(G^2) $ となるグラフ $ G $ が存在するか？
• RQ2 $ \chi_l(G^2) - \chi(G^2) $ の差を任意に大きくできるか？
• RQ3 リスト2乗彩色予想に対して無限に多くの反例が存在するか？
• RQ4 完全多部グラフ $ K_{n*(2n-1)} $ は、あるグラフ $ G $ に対して $ G^2 $ として実現可能か？

主な発見

• 任意の素数 $ n \geq 3 $ に対して、$ G^2 = K_{n*(2n-1)} $ となるグラフ $ G $ が存在する。これは、$ 2n-1 $ 個のサイズ $ n $ の部集合を持つ完全多部グラフである。
• 彩色数 $ \chi(G^2) = 2n-1 $ である。なぜなら $ K_{n*(2n-1)} $ は適切な彩色に $ 2n-1 $ 色を必要とするからである。
• リスト彩色数 $ \chi_l(G^2) > (n-1)\lfloor (4n-3)/n \rfloor \geq 3(n-1) $ であり、$ \chi_l(G^2) - \chi(G^2) \geq n-1 $ であることを示唆している。
• 差 $ \chi_l(G^2) - \chi(G^2) $ は、$ n $ をすべての素数にわたって大きくすることで、任意に大きく取り得る。
• 素数が無限に存在するので、リスト2乗彩色予想に対して無限に多くの反例が存在する。
• この構成は、$ n $ が素数のとき、$ n-1 $ 個の互いに直交する $ n $ 次ラテン方陣の存在に依存している。