[論文レビュー] Counterparty Risk Valuation: A Marked Branching Diffusion Approach

Pierre Henry‐Labordère|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 5被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、モンテカルロ法のモンテカルロ法に類似した計算コストの高い手法に対する効率的な代替手段として、マーク付き分岐拡散法を導入し、デリバティブ評価における両者リスクの計算を効率的に行う。デフォルトイベントを拡散過程に埋め込んだガルトン＝ワトソンの確率的木構造によってモデル化することで、信用価値調整に関連する半線形PDEに対する確率的解が得られ、多数の例において数値的妥当性が確認されている。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to design an algorithm for the computation of the counterparty risk which is competitive in regards of a brute force "Monte-Carlo of Monte-Carlo" method (with nested simulations). This is achieved using marked branching diffusions describing a Galton-Watson random tree. Such an algorithm leads at the same time to a computation of the (bilateral) counterparty risk when we use the default-risky or counterparty-riskless option values as mark-to-market. Our method is illustrated by various numerical examples.

研究の動機と目的

• カウンターパartyリスク評価のためのブルートフォースなモンテカルロのモンテカルロ法に対する計算的に効率的な代替手法を開発すること。
• マルチアセットデリバティブにおける両者リスクに起因する半線形PDEを解く際の次元の呪いを克服すること。
• 多項式非線形性を有する半線形放物型PDEの解に対して、分岐拡散を用いた確率的表現を提供すること。
• 統一されたフレームワーク内で、デフォルト状況下での両者リスク評価と時価評価（mark-to-market）の両方を計算可能にすること。
• ヨーロピアン・オプションおよびマルチアセット・ポートフォリオを含む数値的例を通じて、本手法の正確性と効率性を示すこと。

提案手法

• 各ノードが潜在的なデフォルトイベントと関連するデリバティブ価格を表すガルトン＝ワトソンの確率的木構造を用いて、デフォルトイベントおよびデリバティブ価格の進化をマーク付き分岐拡散で表現する。
• 各ノードが潜在的なデフォルトイベントと関連するデリバティブ価格を表すガルトン＝ワトソンの確率的木構造を用いて、デフォルトイベントおよびデリバティブ価格の進化をマーク付き分岐拡散で表現する。
• 時間定常な分岐率を有する分岐拡散過程にPDEを埋め込み、半線形PDEの解の確率的表現を採用する。
• フェインマン＝カックの公式を用いて、PDEの解と分岐拡散過程の関数の期待値を結びつける。
• 強いマルコフ性および増分の独立性を用いて、木の各ノードにおける再帰的期待値を導出し、解を得る。
• 回帰に基づく条件付き期待値推定を避けるために、PDEの非線形項の多項式近似を用いて非線形性を処理し、回帰を伴わないシミュレーションベースの計算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マーク付き分岐拡散過程は、カウンターパartyリスク評価においてモンテカルロのモンテカルロ法に代わる効率的かつ正確な代替手段を提供できるか？
• RQ2 両者リスクに起因する半線形PDEを、有限差分スキームや回帰に基づくバックワードSDE手法に依存せずに解く方法は何か？
• RQ3 高次元設定において、多項式非線形性を有する半線形PDEの解を分岐拡散がどの程度正確に表現できるか？
• RQ4 マルチアセットデリバティブ・ポートフォリオに対して、標準的なネストド・シミュレーション手法と比較して、本手法の数値的性能はいかがなものか？
• RQ5 マリヤン・重みを分岐過程に組み込むことで、完全非線形PDEに対しても本フレームワークを拡張可能か？

主な発見

• 提案されたマーク付き分岐拡散法は、ブルートフォースなモンテカルロのモンテカルロ法と比較して競争力ある計算性能を達成しており、シミュレーション時間を顕著に短縮している。
• 本手法は、カウンターパartyリスク提供の有無に応じた規約を選択することで、両者リスク評価とデフォルト下での時価評価（mark-to-market）の両方を効果的に計算可能である。
• 数値的例により、ヨーロピアン・オプションおよびマルチアセット・ポートフォリオを含む多様なデリバティブ構造において、本手法の正確性と安定性が確認された。
• 解が元の半線形PDEのバニシング解（viscosity solution）であることが示され、比較原理により一意性が保証されている。
• 従来のバックワードSDE手法における回帰に基づく条件付き期待値推定という主要なボトル neck を回避している。
• 理論的証明により、PDEの解と分岐拡散過程の期待値との間の同等性が確立され、本手法の数学的基盤が妥当であることが裏付けられた。