[論文レビュー] Counting conics in complete intersections

Laurent Bonavero, Andreas Höring|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、次元 $ n $、多重次数 $ (d_1,\ldots,d_r) $、インデックス条件 $ d_1 + \cdots + d_r = \frac{n+1}{2} + r $ を満たす一般の滑らかな完全交差の2つの一般点を通る円錐曲線の個数について、初等的な証明を提供する。この円錐曲線は準線であり、その個数は $ \frac{1}{2} \prod_{i=1}^r (d_i - 1)! \, d_i! $ に等しいことが示され、形式幾何やファノ多様体における円錐曲線のG3性への応用がなされる。

ABSTRACT

We count the number of conics through two general points in complete intersections when this number is finite and give an application in terms of quasi-lines.

研究の動機と目的

• 次元 $ n $、多重次数 $ (d_1,\ldots,d_r) $ を満たし、$ \sum d_i = \frac{n+1}{2} + r $ を満たす一般の滑らかな完全交差において、2つの一般点を通る円錐曲線の個数を決定すること。
• このような円錐曲線が多様体内で準線であることを証明すること、すなわち、その正規バンドルが射影空間内の直線のそれと一致することを意味する。
• 円錐曲線の族が、チャウスキーム $ \mathcal{C}(X) $ の空でない、滑らかで、既約な成分をなすことの確立。
• 結果を形式幾何に応用し、このような多様体における一般の円錐曲線がG3であることを示し、円錐曲線の近傍の形式的同型が、全体の同型を意味することを示すこと。

提案手法

• 退化法と幾何的還元の利用：2点を通る円錐曲線の個数を、それらの点を結ぶ直線を含み、多様体と交わって円錐曲線と残余曲線に分かれる2次元平面の個数に還元する。
• 2つの一般点 $ p $ と $ q $ を固定し、直線 $ [pq] $ を考える。この直線は多様体と再び第三の点 $ u $ で交わる。$ p $ と $ q $ を通る円錐曲線は、$ u $ を通る直線に対応する。
• 各々の $ u $ を通る直線 $ l $ に対して、$ l $ と $ [pq] $ を含む2次元平面 $ \pi_l $ を構成する。このとき、$ X \cap \pi_l $ は $ p $ と $ q $ を通る円錐曲線 $ C $ である。
• 条件 $ \sum d_i = \frac{n+1}{2} + r $ を用いて、$ -K_X \cdot C = n+1 $ が成り立つことを保証し、これにより $ C $ が準線であることが必要となる。
• 次元の数え上げとコhomologicalな議論を用いて、円錐曲線の族がチャウスキーム内で既約的かつ滑らかであることを示す。
• IonescuのG3部分多様体に関する結果を応用する：$ e_0(X,C) = e(X,C) $ が成り立つならば、円錐曲線は $ X $ においてG3である。これは、2つの数え上げが一致するため成り立つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元 $ n $、多重次数 $ (d_1,\ldots,d_r) $ を満たし、$ \sum d_i = \frac{n+1}{2} + r $ を満たす一般の滑らかな完全交差において、2つの一般点を通る円錐曲線の個数は何か？
• RQ2 このような完全交差における円錐曲線が準線であるとは、いつか？ すなわち、その正規バンドルが射影空間内の直線のそれと一致するのはいつか？
• RQ3 このような多様体における円錐曲線の族は、チャウスキームの既約的かつ滑らかな成分をなすか？
• RQ4 どのような条件下で、このような多様体における円錐曲線はG3であるか？ すなわち、その形式的近傍が、環境多様体の同型を決定するか？

主な発見

• このような完全交差において、2つの一般点を通る円錐曲線の個数は $ \frac{1}{2} \prod_{i=1}^r (d_i - 1)! \, d_i! $ に等しい。
• 条件 $ \sum d_i = \frac{n+1}{2} + r $ および $ n \geq 5 $ を満たす限り、$ X $ における円錐曲線の族は、チャウスキーム $ \mathcal{C}(X) $ の空でない、滑らかで、既約な成分をなす。
• すべてのこのような円錐曲線は、$ -K_X \cdot C = n+1 $ を満たし、正規バンドルが豊富であることから、準線である。
• 等式 $ e_0(X,C) = e(X,C) $ が成り立つため、円錐曲線は $ X $ においてG3である。これは、近傍の形式的同型が、環境多様体の全体の同型を意味することを示唆する。
• 結果は、量子コホノロジーに依存しない初等的な証明により得られているが、この公式は以前にGiventalの量子コホノロジー計算によって得られていた。