[論文レビュー] Counting Fixed-Length Permutation Patterns

Cheyne Homberger|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2012

Optimization and Packing Problems被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、特にランダム順列における(n−1)-パターンの列挙を研究する。カプランスキーとヴォルフォヴィッツの1945年の結果を拡張することで、大規模なパターンの数に対する正確な期待値と分散を導出し、最小ギャップサイズを用いた幾何的構成を導入し、異なるパターン数を最大化する。最小ギャップサイズが大きな順列は、固定長に対して最適なパターン数を達成することが示された。

ABSTRACT

We consider the problem of packing fixed-length patterns into a permutation, and develop a connection between the number of large patterns and the number of bonds in a permutation. Improving upon a result of Kaplansky and Wolfowitz, we obtain exact values for the expectation and variance for the number of large patterns in a random permutation. Finally, we are able to generalize the idea of bonds to obtain results on fixed-length patterns of any size, and present a construction that maximizes the number of distinct large patterns.

研究の動機と目的

• ランダムなn-順列における(n−1)-パターンの数の正確な期待値と分散を求める。
• 順列におけるボンドの概念を、任意サイズの固定長パターンへ一般化する。
• 最小ギャップサイズを最適化することで、異なる大規模パターン数を最大化する順列を構成する。
• 順列長nにおけるパターン数を最大化するというハーブ・ウィルフの未解決問題に取り組む。
• 最小ギャップサイズと順列内の固定長パターン数の関係を調査する。

提案手法

• 記録統計に関するカプランスキーとヴォルフォヴィッツの1945年の結果を拡張し、ランダム順列における(n−1)-パターンの数の正確なモーメントを導出する。
• 関数del(p,i)を導入し、順列pのi番目の要素を削除して再ラベル付けすることで(n−1)-パターンを形成する。
• 逆関数ins(q,j,k)を用いて、(n−1)-順列に値を挿入し、元のn-順列を再構成する。
• 構造的制約を分析するため、span_p(i,j)とd_p(i,j)の関数を定義し、パターンの重複度に影響を与える要因を検討する。
• 整数格子点を中心とする傾きをもった正方形を用いた平面のタイリングを構成し、大きな最小ギャップサイズを持つ順列をモデル化する。
• 最小ギャップサイズが最大に達する順列（例：π^(k)）が、固定kに対して(n−k)-パターン数を最大にするのを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一様ランダムなn-順列における(n−1)-パターンの数の正確な期待値と分散は何か？
• RQ2 順列におけるボンドの概念を、任意サイズの固定長パターンへどのように一般化できるか？
• RQ3 与えられたkに対して、(n−k)-パターンの異なる数を最大にする順列構造は何か？
• RQ4 最小ギャップサイズに基づく幾何的構成によって、固定長パターンの数が最大となる順列を生成できるか？
• RQ5 順列の最小ギャップサイズは、その順列が含む固定長パターン数にどのように関係するか？

主な発見

• ランダムn-順列における(n−1)-パターンの数の期待値と分散が正確に計算され、カプランスキーとヴォルフォヴィッツの1945年の結果が一般化された。
• 任意のk ≥ 2に対して、π^(k)およびその逆順列は、最小ギャップサイズkを達成する最短の順列であり、長さは(k−1)²−2である。
• 最小ギャップサイズmg(p) = k+1である順列pにおける(n−k)-パターンの数は、正確にbinomial(n,k) − w_kであり、ここでw_kはd_p(i,j) = k+1を満たすペア(i,j)の数である。
• 順列π^(k)は、すべての0 ≤ j ≤ k−2に対してM_j(p) = binomial(n,j)を満たすため、小さいjに対してj-パターンの最大数を達成する。
• (k−1)²−2より短い順列では、すべてのj ≤ k−2に対して同じ最大パターン数を達成することはできない。
• 最大最小ギャップサイズを持つ順列の構成は、固定長パターン数において最適な結果をもたらすが、総パターン数は平均ギャップサイズに依存する傾向が強い。