[論文レビュー] Counting Phylogenetic Networks with Few Reticulation Vertices: Exact Enumeration and Corrections

Michael Fuchs, Bernhard Gittenberger+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2020

Genomics and Phylogenetic Studies参考文献 5被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、少ない有接点を持つ木子供型および通常の系統発生ネットワークの先行する漸近的数え上げ法における過剰数え上げの誤りを是正する。修正された指数型母関数を用いて、k=1,2,3 個の有接点を持つようなネットワークの数について明示的な閉形式の公式を導出する。これにより、以前の計算結果における不一致が解消され、組合せ的検証によって正しい数え上げが確認される。

ABSTRACT

In previous work, we gave asymptotic counting results for the number of tree-child and normal networks with $k$ reticulation vertices and explicit exponential generating functions of the counting sequences for $k=1,2,3$. The purpose of this note is two-fold. First, we make some corrections to our previous approach which overcounted the above numbers and thus gives erroneous exponential generating functions (however, the overcounting does not effect our asymptotic counting results). Secondly, we use our (corrected) exponential generating functions to derive explicit formulas for the number of tree-child and normal networks with $k=1,2,3$ reticulation vertices. This re-derives recent results of Carona and Zhang, answers their question for normal networks with $k=2$, and adds new formulas in the case $k=3$.

研究の動機と目的

• 少ない有接点を持つ木子供型および通常のネットワークの先行する漸近的数え上げにおける過剰数え上げの誤りを是正すること。
• k=1,2,3 個の有接点を持つリーフラベル付き木子供型および通常のネットワークの数について、明示的かつ正確な公式を導出すること。
• 特に k=3 の場合に顕在化する以前の報告値の不一致を、組合せ的制約および計算オーバーフロー問題との照合によって解消すること。
• CaronaとZhang（2023年）の最近の公式を、修正された母関数を用いて再導出し、簡略化すること。
• 導出された係数の合理性と既知の値との整合性を確認することで、新規公式の正しさを検証すること。

提案手法

• k 個の有接点を持つ頂点ラベル付き木子供型および通常のネットワークの修正された指数型母関数を導出。これにより、母関数構築における以前の過剰数え上げが是正される。
• 両ネットワークタイプに対して、形式 $ N_k(z) = z \frac{\tilde{a}_k^{[N]}(z^2) - \tilde{b}_k^{[N]}(z^2)\sqrt{1-2z^2}}{(1-2z^2)^{2k-1/2}} $ を用い、修正された多項式 $ \tilde{a}_k^{[N]} $ および $ \tilde{b}_k^{[N]} $ を使用する。
• 母関数の操作による係数抽出を適用：$ N_{k,2n+1} = (2n+1)! \left( 2^{-n} \binom{2n}{n} \tilde{r}_k^{[N]}(n) - 2^n \tilde{p}_k^{[N]}(n) \right) $、ここで $ \tilde{r}_k^{[N]}(n) $ は有理数、$ \tilde{p}_k^{[N]}(n) $ は多項式である。
• 頂点ラベル付きの数え上げをリーフラベル付きの数え上げに変換するための式：$ \tilde{N}_{k,\ell} = \frac{\ell!}{(2\ell + 2k - 1)!} N_{k,2\ell + 2k - 1} $ を使用する。
• 導出された係数の分母が2の累乗であることを確認することで、以前の計算作業におけるオーバーフロー誤差に対する正しさを検証する。
• 記号計算と組合せ的制約を用いて、ネットワーク構築におけるサイクルおよびニアサイクルを回避し、有効な通常ネットワークのみを数えることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 過剰数え上げを是正した後、k=3 個の有接点を持つ通常ネットワークの正しい指数型母関数は何か？
• RQ2 k=1,2,3 に対して、リーフラベル付き木子供型および通常ネットワークの数について、明示的な閉形式の公式をどのように導出できるか？
• RQ3 なぜ以前の計算結果では $ \tilde{N}_{3,\ell} $ に誤った値が得られ、その誤りをどのように検証できるか？
• RQ4 修正された公式は、CaronaとZhang（2023年）の最近の結果を簡略化または確認できるか？
• RQ5 サイクルやニアサイクルを含まない有効な通常ネットワークのみを数えるために必要な組合せ的制約は何か？

主な発見

• k=3 個の有接点を持つ通常ネットワークの修正された指数型母関数は、$ N_3(z) = z \left( \frac{877z^{12} - 3065z^{10} + 2392z^8 - 628z^6 + 64z^4}{(1-2z^2)^{11/2}} - \frac{110z^{12} - 1455z^{10} + 1860z^8 - 564z^6 + 64z^4}{(1-2z^2)^5} \right) $ である。
• k=3 個の有接点と $ 2n+1 $ 個の総頂点数を持つ頂点ラベル付き通常ネットワークの数は、$ N_{3,2n+1} = (2n+1)! \left( \frac{n(n-1)(n^4 + 15n^3 - 158n^2 + 324n + 40)}{3(2n-1)2^n} \binom{2n}{n} - \frac{2^n}{192}(144n^4 - 751n^3 - 1089n^2 + 9106n - 7080) \right) $ である。
• k=3 個の有接点と $ \ell $ 個のリーフを持つリーフラベル付き通常ネットワークの数は、$ \tilde{N}_{3,\ell} = \ell! \left( \frac{(\
• $ \ell \geq 5 $ の場合の $ \tilde{N}_{3,\ell} $ の列は 1920, 184680, 11059650, 547444800 で始まり、修正された値を確認し、Zhang（2011年）の誤った値 11038530 および 536524830 と矛盾する。
• Zhangの値の誤りはC++プログラムのオーバーフローに起因し、修正された値は $ \tilde{N}_{3,\ell}/\ell! $ の分母が2の累乗であるという要件を満たしており、これにより修正された公式の正しさが裏付けられる。