[論文レビュー] Counting quadrant walks via Tutte's invariant method (extended abstract)

Olivier Bernardi, Mireille Bousquet‐Mélou+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2015

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 19被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、四分木ウォークの列挙にTutteの不変量法を適用し、既知のすべての代数的モデル（Gesselのモデルを含む）の代数的性質を一様かつ簡潔に証明する。さらに、無限大の群をもつ9つの非D-有限なモデルについて、積分を含まない表現を得て、微分代数的生成関数を証明するための弱化された不変量概念を導入する。主たる貢献は、生成関数の代数的または微分代数的性質と、分離関数および不変量の間の系統的枠組みを結びつけることにある。

ABSTRACT

In the 1970s, Tutte developed a clever algebraic approach, based on certain "invariants" , to solve a functional equation that arises in the enumeration of properly colored triangulations. The enumeration of plane lattice walks confined to the first quadrant is governed by similar equations, and has led in the past decade to a rich collection of attractive results dealing with the nature (algebraic, D-finite or not) of the associated generating function, depending on the set of allowed steps. We first adapt Tutte's approach to prove (or reprove) the algebraicity of all quadrant models known or conjectured to be algebraic (with one small exception). This includes Gessel's famous model, and the first proof ever found for one model with weighted steps. To be applicable, the method requires the existence of two rational functions called invariant and decoupling function respectively. When they exist, algebraicity comes out (almost) automatically. Then, we move to an analytic viewpoint which has already proved very powerful, leading in particular to integral expressions of the generating function in the non-D-finite cases, as well as to proofs of non-D-finiteness. We develop in this context a weaker notion of invariant. Now all quadrant models have invariants, and for those that have in addition a decoupling function, we obtain integral-free expressions of the generating function, and a proof that this series is differentially algebraic (that is, satisfies a non-linear differential equation).

研究の動機と目的

• 三角形分割の列挙から四分木ウォークの列挙へ、Tutteの不変量法を拡張すること。
• 既知または予想されるすべての代数的四分木ウォークモデル（Gesselのモデルを含む）の代数的性質を、一様かつ代数的な方法で証明すること。
• すべてのモデルに適用可能な、より弱い不変量の概念を導入し、積分を含まない表現と非D-有限な場合の微分代数的結果を得ること。
• 分離関数の存在と、生成関数の性質（代数的、D-有限、または微分代数的）との関係を明確にすること。

提案手法

• 四分木ウォーク生成関数を記述する関数方程式に、Tutteのオリジナルの不変量法を適応し、有理不変量を用いて不変量が存在する場合の代数的性質を証明する。
• 79の小ステップ四分木モデルすべてに適用可能な、一般化され弱い不変量の概念を導入する。
• 弱い不変量と分離関数の両者の存在を組み合わせ、生成関数の積分を含まない表現を導出する。
• コンformal写像の技術とワイエルシュトラス楕円関数の性質を用いて、接着関数 $ w(y;t) $ が微分代数的であることを証明する。
• 微分代数的関数の閉包性を活用し、弱い不変量と分離関数の両方が存在する場合、全生成関数 $ Q(x,y;t) $ が微分代数的であることを示す。
• 不変量 $ g_2 $ と $ g_3 $ が満たす微分方程式とモジュラー形式の性質を用いて、接着関数の微分代数的性質を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Tutteの不変量法は、四分木ウォーク生成関数の代数的性質を一様的かつ体系的に証明するために適応可能か？
• RQ2 分離関数が、生成関数が代数的または微分代数的であるかどうかを決定する上で果たす正確な役割は何か？
• RQ3 すべての四分木ウォークモデルに適用可能な、より弱い不変量の概念を定義可能か？ これにより、有限群のケースを超えた解析的取り扱いが可能になるか？
• RQ4 無限大の群をもち、分離関数を持たないモデルについて、生成関数は依然として微分代数的か、それともこのクラスから外れるか？
• RQ5 微分代数的ケースにおいて、Tutteの三角形分割方程式の解に類似した、非線形微分方程式を生成関数に対して明示的に導出可能か？

主な発見

• 有限群をもつ23の四分木ウォークモデルは、分離関数をもつことと代数的であることとは同値であり、不変量法により一様に確認可能である。
• 本手法により、Gesselのモデルの代数的性質の証明が、これまでの複雑な代数的変形を必要としていなかった、最短の既知の証明となった。
• 無限大の群をもつ9つのモデルについて、弱い不変量と分離関数の両方の存在により、生成関数の積分を含まない表現が得られた。
• これらの9つのモデルについて、生成関数 $ Q(x,y;t) $ が $ x $, $ y $, $ t $ に関して微分代数的であることが証明され、有理係数の非線形微分方程式を満たす。
• 解析的アプローチの中心的役割を果たす接着関数 $ w(y;t) $ は、ワイエルシュトラス楕円関数とモジュラー形式の性質を用いて微分代数的であることが示された。
• 本フレームワークにより、D-有限と非D-有限モデルの二分法が説明された：有限群ではD-有限（分離関数が存在する場合、代数的）であり、無限大の群のモデルは、分離関数が存在する場合、微分代数的である可能性がある。