[論文レビュー] Counting triangles formula for the first Chern class of a circle bundle

G. Gangopadhyay|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、三角形の数え上げに基づく新しい組合せ的公式を提示し、三角形分割されたファイブレーションから導かれる巡回語における三角形の数え上げを用いて、$S^1$-バンドルの1番目のチャーン類を計算する。Mnevの公式とは異なり、線形順序に依存し、循環的不変性の証明を要するが、本手法は巡回的対称性を内蔵しており、巡回語構造における向き付けられた三角形の数え上げによって、自明に不変なコホモロジー的コサイクルが得られ、計算的により自然である。

ABSTRACT

We consider the problem of the combinatorial computation of the first Chern class of a circle bundle. N.Mnev found such a formula in terms of canonical shellings. It represents certain invariant of a triangulation computed by analyzing cyclic word in 3-character alphabet associated to the bundle. This curvature is a kind of discretization of Konstevich's curvature differential 2-form. We find a new expression of Mnev's curvature by counting triangles in a cyclic word. Our formula is different from that of Mnev. In particular, it is cyclically invariant by its very form. We present also some sample computations of this invariant and also provide a small Mathematica code for the computation of this invariant.

研究の動機と目的

• 三角形分割されたファイブレーションからの組合せ的データを用いて、円周バンドルの1番目のチャーン類に対する新しい、循環的に不変な公式を提供すること。
• Mnevの線形順序に基づく公式を、構成上自明に循環的対称性を持つものに置き換えること。
• 新しい公式とMnevの元来のコサイクル表現との間の直接的かつ独立した同等性の証明を提供すること。
• 多値写像を用いたアプローチを一般化し、1番目のチャーン類の高次元版に拡張すること。
• 与えられた巡回語に対して不変量を計算するためのMathematica実装を提供すること。

提案手法

• 基底の三角形分割における各単体に対応する巡回語の族であるシェリングを用いて、$S^1$-バンドルを組合せ的に表現する。
• 巡回語を介して多値写像を定義し、各文字が$(n+1)$-単体内での2つのリフトを持つ頂点に対応する。
• 各2-単体に対して、境界上でのすべての可能な写像拡張の平均インデックスを、頂点値の間の弧（時計回りまたは反時計回り）を選んで計算する。
• 平均インデックスに正または負の寄与をする巡回語内の三角形（向き付けられた文字の三つ組）の数を数える。
• 1番目のチャーン類を$\frac{t^{-} - t^{+}}{2k_0k_1k_2}$として導出する。ここで$t^{-}, t^{+}$は、負および正の向きの三角形の個数を表す。
• 多値写像技術を用いて、直接計算と位相的整合性を確認し、Mnevの公式と同等であることを検証する。[1]からの多値写像の技術を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 構成上自明に循環的不変な公式を用いて、$S^1$-バンドルの1番目のチャーン類を計算することは可能か？
• RQ2 巡回語における向き付けられた三角形の数え上げは、2-単体の境界上での写像の次数とどのように関係するか？
• RQ3 巡回語の線形順序に依存しない、チャーン類コサイクルの正確な組合せ的表現は何か？
• RQ4 新しい三角形数え上げ公式とMnevの元来の公式との間の同等性について、直接的かつ独立した証明は可能か？
• RQ5 この手法は、円周バンドルの高次元特徴類へ一般化可能か？

主な発見

• 新しい公式は、$\frac{t^{-} - t^{+}}{2k_0k_1k_2}$として1番目のチャーン類を計算し、ここで$t^{-}$および$t^{+}$は巡回語内の負および正の向きの三角形の個数を表す。
• この公式は構成上循環的に不変であるが、Mnevの元来の表現とは異なり、不変性の外部的証明を要しない。
• すべての写像拡張選択における平均インデックスは、ファイバー上での写像値の巡回的順序に応じて$\pm \frac{1}{2}$をとる。これにより最終的な式が得られる。
• 著者らは、Mnevの元来の議論とは独立して、定理2の直接的証明を多値写像を用いて与えている。
• この手法は、与えられた巡回語に対して不変量を明示的に計算するためのMathematicaコードとして実装されている。
• 新しい三角形数え上げ公式とMnevの公式との同等性は、個別ケースの平均化と位相的整合性を用いて厳密に検証されている。