[论文解读] Couple stress theories: Theoretical underpinnings and practical aspects from a new energy perspective

Ali R. Hadjesfandiari, Gary F. Dargush|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2016

Nonlocal and gradient elasticity in micro/nano structures参考文献 22被引用 12

一句话总结

本文采用能量方法对偶应力理论进行了批判性评估，表明不确定形式（MTK-CST 和 M-CST）在势能最小化过程中违反了旋转矢量场的无散度条件，而确定的、反对称一致的偶应力理论（C-CST）则内在地满足该条件，证明了其内在一致性与在弹性固体建模中的优越性。

ABSTRACT

In this paper, we examine theoretical and practical aspects of several versions of couple stress theory. This includes indeterminate Mindlin-Tiersten-Koiter couple stress theory (MTK-CST), indeterminate symmetric modified couple stress theory (M-CST) and determinate skew-symmetric consistent couple stress theory (C-CST). We observe that MTK-CST and M-CST not only suffer from inconsistencies, these theories also cannot describe properly several elementary deformations, such as pure torsion of a circular bar and pure bending of a plate. By using an energy method, we also demonstrate another aspect of the inconsistency of the indeterminate MTK-CST and M-CST for elastic solids. This is achieved by deriving the governing equilibrium equations for elastic bodies in MTK-CST, M-CST and C-CST. This development shows that the direct minimization of the total potential energy for MTK-CST and M-CST violates the divergence free compatibility condition of the rotation vector field. On the other hand, the direct minimization of the total potential energy for C-CST satisfies this compatibility condition automatically. This result demonstrates another aspect of the inner consistency of C-CST.

研究动机与目标

• 评估各种偶应力理论的理论一致性，尤其关注其描述基本形变的能力。
• 识别 MTK-CST 和 M-CST 等不确定形式中的根本性不一致，这些不一致导致其无法正确描述纯扭转和纯弯曲变形。
• 建立严格的基于能量的框架，以评估偶应力理论在弹性固体中的有效性。
• 证明只有确定的、反对称一致的偶应力理论（C-CST）在能量最小化过程中满足旋转矢量场的无散度相容条件。
• 为连续介质力学中选择物理一致的偶应力模型提供清晰的理论基础。

提出的方法

• 利用变分法推导弹性体在 MTK-CST、M-CST 和 C-CST 下的控制平衡方程。
• 应用总势能最小化方法，评估旋转矢量场无散度条件的一致性。
• 使用能量方法揭示不确定理论中的不一致，通过分析其无法保持旋转场相容性。
• 比较 MTK-CST、M-CST 和 C-CST 的数学结构，识别哪些形式内在满足物理相容性条件。
• 运用向量微积分恒等式验证，仅 C-CST 在能量最小化下能确保旋转矢量场为无散度。
• 采用系统化的理论框架，评估不同偶应力模型的物理一致性，超越经验验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何不确定的偶应力理论（如 MTK-CST 和 M-CST）无法描述纯扭转和纯弯曲等基本形变？
• RQ2 直接最小化总势能如何暴露 MTK-CST 和 M-CST 中的不一致？
• RQ3 在满足旋转矢量场无散度条件方面，一致偶应力理论（C-CST）与其它形式有何区别？
• RQ4 能否使用基于能量的方法识别物理不一致的偶应力模型？
• RQ5 为何 C-CST 的反对称结构在能量最小化过程中对保持旋转场相容性至关重要？

主要发现

• 在直接最小化总势能时，不确定的 MTK-CST 和 M-CST 理论违反了旋转矢量场的无散度条件。
• 仅确定的、反对称一致的偶应力理论（C-CST）在能量最小化过程中自动满足旋转矢量场的无散度相容条件。
• MTK-CST 和 M-CST 无法正确描述圆形杆的纯扭转和板的纯弯曲，表明其存在根本性的理论缺陷。
• 能量方法揭示，C-CST 本质上是一致的，而 MTK-CST 和 M-CST 不一致，原因在于其无法保持旋转场相容性。
• MTK-CST 和 M-CST 的理论不一致不仅是数学上的，更导致对标准力学问题产生物理上错误的预测。
• C-CST 是三者中唯一一致的公式，为描述固体中尺寸依赖的弹性行为提供了可靠基础。