[論文レビュー] Coupled Multirate Infinitesimal GARK Schemes for Stiff Systems with Multiple Time Scales

Steven Roberts, Arash Sarshar+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2018

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 39被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、強い速-遅スケール相互作用を示す剛性系に適した、結合型多時間スケール無限小GARK（MRI-GARK）スキームを提案する。速成分と遅成分を段階ごとに暗黙的に結合することで、安定性が向上する。提案手法である段階予測子・補正子型および内部段階予測子・補正子型MRI-GARK法は、分離型スキームに比べて安定性が向上し、4次までの次数条件を満たす。数値実験により、KPRモデルやインバータチェーンモデルといった剛性マルチスケール問題において、優れた効率性と精度が確認された。

ABSTRACT

Traditional time discretization methods use a single timestep for the entire system of interest and can perform poorly when the dynamics of the system exhibits a wide range of time scales. Multirate infinitesimal step (MIS) methods (Knoth and Wolke, 1998) offer an elegant and flexible approach to efficiently integrate such systems. The slow components are discretized by a Runge-Kutta method, and the fast components are resolved by solving modified fast differential equations. Sandu (2018) developed the Multirate Infinitesimal General-structure Additive Runge-Kutta (MRI-GARK) family of methods that includes traditional MIS schemes as a subset. The MRI-GARK framework allowed the construction of the first fourth order MIS schemes. This framework also enabled the introduction of implicit methods, which are decoupled in the sense that any implicitness lies entirely within the fast or slow integrations. It was shown by Sandu that the stability of decoupled implicit MRI-GARK methods has limitations when both the fast and slow components are stiff and interact strongly. This work extends the MRI-GARK framework by introducing coupled implicit methods to solve stiff multiscale systems. The coupled approach has the potential to considerably improve the overall stability of the scheme, at the price of requiring implicit stage calculations over the entire system. Two coupling strategies are considered. The first computes coupled Runge-Kutta stages before solving a single differential equation to refine the fast solution. The second alternates between computing coupled Runge-Kutta stages and solving fast differential equations. We derive order conditions and perform the stability analysis for both strategies. The new coupled methods offer improved stability compared to the decoupled MRI-GARK schemes. The theoretical properties of the new methods are validated with numerical experiments.

研究の動機と目的

• 強い速-遅相互作用を示す剛性マルチスケール系において、分離型暗黙MRI-GARK法に見られる不安定性の制限を解消すること。
• 速成分と遅成分を結合することで、次数の精度を損なわずに安定性を向上させる新しい多時間スケール時間積分フレームワークの開発。
• 広い時間スケール差を有する剛性系に適した、安定で高次（最大4次）の暗黙スキームの構築。
• 任意の速成分ソルバーを許容し、無限小補正を用いた多時間スケール戦略を活用することで、効率的な計算を可能にすること。
• KPRやインバータチェーンモデルといったベンチマーク剛性問題に対する理論的改善を、数値実験で検証すること。

提案手法

• すべての予測段階を結合型暗黙系として一度に計算し、その後に速成分に無限小補正を施す段階予測子・補正子型MRI-GARK（SPC-MRI-GARK）スキームを導入する。
• 各遅成分段階において、結合型予測段階と無限小補正段階を交互に実行する内部段階予測子・補正子型MRI-GARK（IPC-MRI-GARK）スキームを開発する。
• 予測段階および補正段階からの遅成分傾きの補間を用いて、修正された速成分ODEを定式化し、一貫性と安定性を確保する。
• 一般構造の加法的ルンゲ＝クッタ（GARK）フレームワークを用いて、両スキーム族の次数条件を導出。これにより、先行するMRI-GARK理論を拡張する。
• 両スキームの安定性解析を実施。分離型MRI-GARK法に比べ、特に剛性問題においてより大きな安定性領域を示すことが判明。
• 標準ODEソルバー（例：ode45）を用いて速成分の積分を実装し、遅成分段階にはベース法（例：SDIRK, ESDIRK）を適用。一部のケースでは適応的ステップ制御を導入。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 速成分と遅成分の暗黙的結合は、分離型MRI-GARK法に比べて、剛性マルチスケール系における多時間スケール時間積分の安定性をどのように向上させるか？
• RQ2 段階予測子・補正子型および内部段階予測子・補正子型MRI-GARKスキームの次数条件および安定性特性は何か？
• RQ3 新しい結合型MRI-GARK法は、ベンチマーク剛性問題において収束次数および計算効率の面でどのように性能を示すか？
• RQ4 結合の影響は、高次スキームの安定性領域および許容可能な時間刻みにどのような影響を及えるか？
• RQ5 提案スキームは、インバータチェーンモデルのような実世界の剛性系において、単一時間スケール法に比べて顕著な高速化を達成できるか？

主な発見

• SPC-MRI-GARKおよびIPC-MRI-GARKスキームは、4次までの形式的精度を達成し、次数条件は厳密に導出され、数値的にも検証された。
• KPR問題における数値実験により、すべての新規スキームが理論的次数に一致して収束し、次数条件が示す通りに誤差が減少することが確認された。
• SPC-MRI-GARKスキームは、グローバル結合戦略のおかげで、特に剛性問題においてIPC-MRI-GARKスキームよりも大きな安定性領域を示した。
• インバータチェーン問題では、同程度の次数を持つ単一時間スケールベース法に比べ、SPC-MRI-GARKスキームが8〜60倍の高速化を達成した。
• IPC-MRI-GARKスキームは、遅成分ベース法における非減少のabszissa要件の制限により、高次スキームの適用が制限される安定性制約に直面するが、SPC-MRI-GARKスキームはこの問題を回避した。
• 両結合スキームは、速成分と遅成分が強く結合されており剛性である場合に特に、分離型MRI-GARK法よりも安定性が優れていることが確認された。