[論文レビュー] Courant algebroids, derived brackets and even symplectic supermanifolds

Dmitry Roytenberg|ArXiv.org|Oct 15, 1999

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 260

ひとこと要約

本稿は、コルヌー代数的群を偶数シンプレクティック(super)多様体上のホモロジカルベクトル場として実現するための導来括弧構成を導入し、リー双代数的群のドリンフェルト二重の新しい幾何的枠組みを提供する。この構成を用いてリー双代数的群の二重化定理を証明し、準リー双代数的群へ一般化する。さらに、S² 上の SU(2)-不変なポアソン構造のポアソンコホロロジーを計算し、それらが非自明でスケーリング不能な変形であることを示す。

ABSTRACT

In this dissertation we study Courant algebroids, objects that first appeared in the work of T. Courant on Dirac structures; they were later studied by Liu, Weinstein and Xu who used Courant algebroids to generalize the notion of the Drinfeld double to Lie bialgebroids. As a first step towards understanding the complicated properties of Courant algebroids, we interpret them by associating to each Courant algebroid a strongly homotopy Lie algebra in a natural way. Next, we propose an alternative construction of the double of a Lie bialgebroid as a homological hamiltonian vector field on an even symplectic supermanifold. The classical BRST complex and the Weil algebra arise as special cases. We recover the Courant algebroid via the derived bracket construction and give a simple proof of the doubling theorem of Liu, Weinstein and Xu. We also introduce a generalization, quasi-Lie bialgebroids, analogous to Drinfeld's quasi-Lie bialgebras; we show that the derived bracket construction in this case also yields a Courant algebroid. Finally, we compute the Poisson cohomology of a one-parameter family of SU(2)- covariant Poisson structures on S^2. As an application, we show that these structures are non-trivial deformations of each other, and that they do not admit rescaling.

研究の動機と目的

• コルヌー代数的群を強くホモトピー的リー代数に関連付けること。
• リー双代数的群のドリンフェルト二重を、偶数シンプレクティック(super)多様体上のホモロジカルベクトル場として再定式化すること。
• 導来括弧構成を準リー双代数的群へ一般化し、コルヌー代数的群を回復すること。
• S² 上の SU(2)-不変ポアソン構造のポアソンコホロロジーを計算し、その変形性を分析すること。

提案手法

• 導来括弧技法を用いて、各コルヌー代数的群に強くホモトピー的リー代数を関連付ける。
• リー双代数的群の二重を、偶数シンプレクティック(super)多様体上のホモロジカルベクトル場として構成する。
• 導来括弧構成を用いて、ホモロジカルベクトル場からコルヌー代数的群を回復する。
• 導来括弧形式を準リー双代数的群に適用し、それらが依然としてコルヌー代数的群を生むことを示す。
• ネックレスの形式的近傍を用いて、ポアソンコホロロジーを計算する。
• 超多様体技法を用いて局所コホロロジーとグローバルポアソンコホロロジーを関連させることで、滑らかな場合を正当化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コルヌー代数的群はどのようにして強くホモトピー的リー代数と自然に関連付けられるか？
• RQ2 リー双代数的群のドリンフェルト二重は、偶数シンプレクティック(super)多様体上のホモロジカルベクトル場として幾何的に実現可能か？
• RQ3 導来括弧は、このようなホモロジカルベクトル場からコルヌー代数的群を再構成する際に果たす役割は何か？
• RQ4 準リー双代数的群は標準ケースをどのように一般化するのか？そして導来括弧を用いて依然としてコルヌー代数的群が得られるのか？
• RQ5 S² 上の SU(2)-不変ポアソン構造のポアソンコホロロジーは何か？そしてその変形論的性質は何かを示唆するか？

主な発見

• 導来括弧構成により、リー双代数的群の二重化定理の簡単な証明が得られる。
• リー双代数的群の二重は、偶数シンプレクティック(super)多様体上のホモロジカルベクトル場として実現され、古典的BRST複体とウェイル代数を一般化する。
• 準リー双代数的群は導来括弧構成を用いてコルヌー代数的群を生み出す。これは、厳密な双代数的群のケースを超えた枠組みの拡張を示す。
• S² 上の SU(2)-不変ポアソン構造の1パラメータ族のポアソンコホロロジーが計算され、非自明な変形類を示している。
• これらの構造は互いに非自明な変形であり、スケーリングが不可能であることが示され、別個の幾何的性質を示している。