[論文レビュー] Courant-Nijenhuis tensors and generalized geometries

Janusz Grabowski|ArXiv.org|Jan 31, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、対称ペアリングと整合するCourant代数群上のNijenhuisテンソルを調査し、非可約なCourant代数群（例：拡張された接 bundle TM ⊕ T*M）におけるこのようなテンソルが、二次関係 N² − λN + μI = 0 を満たす必要があることを証明している。この関係は、一般化された幾何学の可能性を著しく制限する。主な結果は、三種類の構造のみが存在可能であるということである：複素構造（N² = −I）、積構造（N² = I）、接構造（N² = 0）—これらはそれぞれHitchinの一般化された複素構造、一般化された複素構造、一般化された複素構造に対応する。

ABSTRACT

Nijenhuis tensors $N$ on Courant algebroids compatible with the pairing are studied. This compatibility condition turns out to be of the form $N+N^*=aI$ for irreducible Courant algebroids, in particular for the extended tangent bundles $TM\oplus T^*M$. It is proved that compatible Nijenhuis tensors on irreducible Courant algebroids must satisfy quadratic relations $N^2-aN+bI=0$, so that the corresponding hierarchy is very poor. The particular case $N^2=-I$ is associated with Hitchin's generalized geometries and the cases $N^2=I$ and $N^2=0$ -- to other "generalized geometries". These concepts find a natural description in terms of supersymplectic Poisson brackets on graded supermanifolds.

研究の動機と目的

• Courant代数群上のNijenhuisテンソルが対称ペアリングと整合する条件を分類すること。
• 非可約なCourant代数群（例：TM ⊕ T*M）における整合性条件が課す代数的制約を特定すること。
• 一般化された幾何学、特にHitchinの一般化された複素構造に与える影響を理解すること。
• Courant-Nijenhuisテンソルと、次数付き超多様体上の超シンプレクティックPoisson括弧の間の対応関係を確立すること。
• 一般化された幾何学の階層が、導出された二次関係によって自明化されることを示すこと。

提案手法

• Leibniz代数におけるNijenhuisねじれの消失条件を用いて、Courant代数群上の整合的Nijenhuisテンソルを定義する。
• ペアリングに関する双対N*を用いて、N + N* = λI という整合性条件を課し、Courant代数群構造を保存する。
• 次数付きJacobi恒等式とハミルトニアン形式主義を用いて、非可約なCourant代数群における二次関係 N² − λN + μI = 0 を導出する。
• 次数2のシンプレクティックN多様体上の超シンプレクティックPoisson括弧形式主義を用い、Courant代数群を三次ハミルトニアンで記述する。
• 導出括弧とde Rham微分のハミルトニアン上昇を用いて、縮約積 ∘_N を特徴付ける。
• Nijenhuisねじれの消失を、H がCourant代数群の三次ハミルトニアンであるときの { {H, N}, N } = 0 という条件に結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Courant代数群上のNijenhuisテンソルが対称ペアリングを保存する場合に生じる代数的制約は何か？
• RQ2 複素、積、接構造などの一般化された幾何学のうち、整合的Nijenhuisテンソルから生じ得るものはどれか？
• RQ3 次数付き超多様体上の超シンプレクティックPoisson括弧形式主義は、Courant代数群構造およびその変形をどのように記述するか？
• RQ4 非可約なCourant代数群上では、なぜ一般化された幾何学の階層が自明化されるのか？
• RQ5 Nijenhuisねじれと、縮約積 ∘_N のハミルトニアン生成子との正確な関係は何か？

主な発見

• 非可約なCourant代数群上の整合的Nijenhuisテンソルは、二次関係 N² − λN + μI = 0 を満たす必要があり、これにより可能な構造が制限される。
• 可能な一般化された幾何学は、N² = −I（複素構造）、N² = I（積構造）、N² = 0（接構造）に対応する三種類に限られる。
• N + N* = λI という条件は、縮約積 ∘_N におけるCourant代数群構造の保存に、必要かつ十分である。
• 導出括弧の構成により、∘_N がハミルトニアン {H, N} から生じることが示され、H はCourant代数群の三次ハミルトニアンである。
• Nijenhuisねじれの消失は、{ {H, N}, N } が ∘_{N²} の生成子であることに等しく、ねじれをハミルトニアン形式主義に結びつける。
• 複素一般化幾何学（N² = −I）はHitchinの一般化された複素構造に対応し、他の場合には別個の一般化された幾何学が得られる。