[論文レビュー] Courbes de genre 3 avec S3 comme groupe d'automorphismes

Jean-François Mestre|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、3変数の対称多項式を用いて、有限体上に自己同型群が完全対称群 $S_3$ である種数3曲線を構成する。$q = 3^n$ で $n$ が奇数のとき $D_q(3) \leq 3$、$q = 7^n$ で $n$ が奇数のとき $D_q(3) \leq 9$ であることを証明し、最適曲線の欠陥が有界であることを確立する。主な貢献は、Frobeniusトレースを制御した楕円曲線の積への同種を用いた、最適種数3曲線の明示的構成である。

ABSTRACT

this paper is devoted to the study of curves of genus 3 with group of automorphisms the symmetric group S3, principally over finite fields, in view to obtain optimal curves. For instance, we prove that, over the finite fields of char. 3, for any elliptic curve E with j-invariant not in F_3, there exists a curve of genus 3 whose jacobian is isogeneous to E^3; we have also results in char. 7, and these curves provide many examples of optimal curves in any char. Nous etudions les courbes de genre 3 dont le groupe d'automorphismes est S3, en vue d'obtenir des courbes optimales sur les corps finis. En particulier, en car. 3, si E est unecourbe elliptique dont l'invariant n'est pas dans F_3, il existe une telle courbe de genre 3 dont la jacobienne est isogene a E^3; dans le cas de la caracteristique 7, des resultats plus partiels sont obtenus. Par ailleurs, ces courbes semblent donner experimentalement de nombreux cas de courbes optimales.

研究の動機と目的

• 有限体上に自己同型群が $S_3$ である種数3曲線を研究すること。これは、有理点を多くもつ曲線の探索を動機としている。
• Serreの質問に応えること：有限体 $\mathbb{F}_q$ 上の種数 $g$ 曲線の欠陥 $D_q(g)$ に対して、一様な上限 $c(g)$ が存在するか。
• $q = 3^n$, $n$ が奇数、および $q = 7^n$, $n$ が奇数のとき、明示的に最適種数3曲線を構成すること。対称多項式族と楕円曲線の積への同種を活用する。
• $q = 3^n$, $n$ が奇数のとき $D_q(3) \leq 3$、$q = 7^n$, $n$ が奇数のとき $D_q(3) \leq 9$ であることを証明すること。$S_3$ 対称曲線族 $C_{a_1,a_2,a_3,a_4}$ を用いる。
• $\mathbb{F}_{3^5}$ 上で $q+1+3m_q-3$ 個の点をもつ曲線の明示的構成を行い、既知の上界が鋭いことを示す。

提案手法

• 種数3曲線 $C_{a_1,a_2,a_3,a_4}$ を、$a_1T_1^4 + a_2T_1^2T_2 + a_3T_1T_3 + a_4T_2^2 = 0$ で定義される射影平面曲線としてパラメトライズする。ここで $T_1 = X+Y+Z$, $T_2 = XY+YZ+ZX$, $T_3 = XYZ$ であり、$S_3$ は $X,Y,Z$ に自然に作用する。
• 曲線 $C_{a_1,a_2,a_3,a_4}$ のヤコビアンが $E_1^2 \times E_2$ に同種であることを用いる。ここで $E_1$ と $E_2$ は、$S_3$ の位数2および3の部分群による $C$ の商である。
• Weilペアリングを用いて、$E_1$ と $E_2$ の3階捩れ点の間のガロア-equivariant同型を確立し、同種構造の基盤をなす。
• 楕円曲線 $E_1$, $E_2$ を、不変量が一致するか、Frobeniusトレースを制御した上で選ぶことで、$\mathbb{F}_q$ 上の曲線を構成し、期待される有理点数を得る。
• 既知の楕円曲線の点数およびトレース条件に関する結果を用いて、$\mathbb{F}_q$ 上での $S_3$ 対称族 $C_{a_1,a_2,a_3,a_4}$ を特殊化し、最適な点数を得る。
• Hasse不変量とFrobeniusトレースを用いて、$q=3^5$ のときの公式 $\#C(\mathbb{F}_q) = q+1 + 3m_q - 3$ を用いて、種数3曲線の点数を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $q = 3^n$ で $n$ が奇数のとき、$\#C(\mathbb{F}_q) = q+1+3m_q-3$ をもつ種数3曲線が存在するか。また、欠陥 $D_q(3)$ は有界か。
• RQ2 $q = 7^n$ で $n$ が奇数のとき、$\#C(\mathbb{F}_q) = q+1-3a$ をもつ曲線を構成できるか。また、最大の欠陥は何か。
• RQ3 $S_3$ 対称曲線族 $C_{a_1,a_2,a_3,a_4}$ を用いて、$q$ の大部分に対して最適種数3曲線を構成できるか。
• RQ4 $q = 3^n$, $n$ が奇数のすべての $q$ に対して、欠陥 $D_q(3)$ は一様に有界か。もしそうなら、最良の上限は何か。
• RQ5 $-a_2$ が $\mathbb{F}_q$ 内に平方でないとき、$\mathbb{F}_{3^{2n}}$ 上の非双曲的最適曲線にこの構成を拡張できるか。

主な発見

• $q = 3^n$ で $n$ が奇数のとき、$D_q(3) \leq 3$ であり、この上限は鋭い。すなわち、$\#C(\mathbb{F}_q) = q+1+3m_q-3$ を達成する曲線が存在する。
• $q = 7^n$ で $n$ が奇数のとき、$D_q(3) \leq 9$ であり、$a$ が3の倍数かつ7を法として平方である場合、$\#C(\mathbb{F}_q) = q+1-3a$ をもつ曲線が存在する。また、$a \equiv 1,4,5,7,8,11 \pmod{12}$ のとき、$\#C(\mathbb{F}_q) = q+1 \pm 3a$ をもつ曲線が存在する。
• $\mathbb{F}_{3^5}$ 上では、$\#C(\mathbb{F}_q) = 3^5 + 1 + 3 \cdot 31 - 3 = 256 + 1 + 93 - 3 = 347$ をもつ曲線が存在し、LauterとSerreの上界と一致する。
• $a_3 = -1$ で、$-a_2$ が $\mathbb{F}_q$ 内に平方でないとき、商曲線は $j$-不変量0の楕円曲線となり、$\mathbb{F}_{3^{2n}}$ 上の種数3曲線は非双曲的かつ最適である。
• $p \leq 10000$ の範囲で、$S_3$ 対称族を特殊化すると、約90%のケースで $\mathbb{F}_p$ 上に最適曲線が得られる。
• この構成により、判別式が $\{-3,-7,-19,-43,-67,-163,-16,-28\}$ に属する複素乗法を持つ楕円曲線の立方と $\overline{\mathbb{Q}}$-同種である種数3曲線が $\mathbb{Q}$ 上に得られる。