[논문 리뷰] Covariance and objectivity in mechanics and turbulence

Michael Frewer|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 21.

Relativity and Gravitational Theory참고 문헌 54인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 연속체역학 및 난류 모델링에서 공변성과 객관성의 역할을 재정의하며, 형식 불변성(covariance)과 프레임에 무관성(frame-indifference)을 구분하고, 구성 모델링을 위한 감소된 물질 기준 프레임 무관성(r-MFI) 원칙을 제안하고, 난류를 위한 별개의 독립된 공리인 난류 기준 프레임 무관성(TFI)을 도입한다. 이는 평균 속도장을 상대적이고 객관적이지 않은 변수로 모델링에 포함시켜, 확장된 열역학 이론과 난류 이론에서의 물리적 관측과의 일관성을 향상시킨다.

ABSTRACT

Form-invariance (covariance) and frame-indifference (objectivity) are two notions in classical continuum mechanics which have attracted much attention and controversy over the past decades. Particularly in turbulence modelling it seems that there still is a need for clarification. The aim and purpose of this study is fourfold: (i) To achieve consensus in general on definitions and principles when trying to establish an invariant theory for modelling constitutive structures and dynamic processes in mechanics, where special focus is put on the principle of Material Frame-Indifference (MFI). (ii) To show that in constitutive modelling MFI can only be regarded as an approximation that needs to be reduced to a weaker statement when trying to advance it to an axiom of nature. (iii) To convince that in dynamical modelling, as in turbulence, MFI may not be utilized as a modelling guideline, not even in an approximative sense. Instead, its reduced form has to be supplemented by a second, independent axiom that includes the microscopic (fluctuating) description of the dynamical processes. Concerning Navier-Stokes turbulence, the axiom of Turbulent Frame-Indifference (TFI) is stated in which turbulence has to be modelled consistently with the invariant properties of the deterministic Navier-Stokes equations, and finally (iv) to propose a novel invariant modelling ansatz both for constitutive and dynamical modelling that allows to include the (mean) velocity field as an own independent modelling variable, however, not in an absolute but only in the relative sense as a velocity difference; a result that would systematically improve current modelling procedures in extended thermodynamics and turbulence theory to be more consistent with physical observations.

연구 동기 및 목표

• 연속체역학에서 형식 불변성(covariance)과 프레임에 무관성(objectivity) 간의 근본적 구분을 명확히 하여, 문헌에서 오랫동안 애매시되어 온 혼동을 해결한다.
• 물질 기준 프레임 무관성(MFI)이 천연의 기본 공리일 수 없으며, 아인슈타인-갈릴레오 기준 프레임에만 적용 가능한 더 약한 형태인 r-MFI로 축소되어야 한다고 주장한다.
• 난류와 같은 역학 시스템에서는 MFI가 모델링 지침으로서 부족하며, 나비에-스토크스 방정식의 불변성 구조를 유지하기 위해 독립된 공리인 난류 기준 프레임 무관성(TFI)이 추가되어야 한다고 보여준다.
• 평균 속도장을 상대적이고 객관적이지 않은 변수(속도 차이)로 간주하는 새로운 모델링 가정을 제안하여, 확장된 열역학과 난류 이론에서의 물리적 관측과의 일관성을 향상시킨다.
• 고전적 구성 관계가 고차수의 쌍곡형 시스템의 근사치임을 보여주며, 흐름의 기준 의존성은 기본 물리 법칙이 아니라 반복적 근사 과정에서만 발생함을 밝힌다.

제안 방법

• 텐서(변환 법칙으로 정의됨)와 비텐서를 구분하여, 형식 불변성(tensor 행동)이 프레임에 무관성(objectivity)을 함의하지는 않음을 보여준다.
• 갈릴레오 및 유클리드 변환 하에서의 핵심 장(속도, 변형률률, 소용돌이도)의 변환 행동을 분석하여, 객관적 또는 비객관적임을 분류한다.
• 감소된 MFI(r-MFI) 원칙을 도입하여, 구성 모델링을 관성 기준 프레임에만 국한함으로써 비관성 변환에서 발생하는 물리적으로 비합리적인 제약을 피한다.
• 난류 기준 프레임 무관성(TFI) 공리를 제안하여, 난류 모델이 결정론적 나비에-스토크스 방정식의 불변 성질을 모든 기준 변환에서 존중하도록 보장한다.
• 확장된 열역학의 균형 법칙에 대해 반복적인 맥스웰 유사 방법을 적용하여, 고전적 편평한 유속 관계가 고차수의 쌍곡형, 기준에 무관한 시스템의 근사치로 나타남을 보여준다.
• 평균 속도장을 상대적 속도 차이로 간주하는 새로운 모델링 가정을 구성하여, 객관성 원칙 위반 없이도 독립 변수로 포함시킬 수 있음을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연속체역학에서 형식 불변성(covariance)과 프레임에 무관성(objectivity) 간의 정확한 수학적 및 물리적 구분은 무엇인가?
• RQ2 표준 물질 기준 프레임 무관성(MFI) 원칙이 자연의 기본 공리로 타당하지 않은 이유는 무엇이며, 구성 모델링에 적합한 감소된 형태(r-MFI)는 무엇인가?
• RQ3 나비에-스토크스 방정식의 불변성 구조를 유지하기 위해, MFI를 초월해 독립된 공리인 난류 기준 프레임 무관성(TFI)을 도입함으로써 난류 모델링을 일관되게 발전시킬 수 있는가?
• RQ4 평균 속도장이 객관적이지 않은데도 모델링 변수로 일관되게 포함시킬 수 있는가? 이를 상대적 속도 차이로 간주하는 데 물리적 정당성은 무엇인가?
• RQ5 고전적 열역학의 구성 관계가 확장된 열역학에서 고차수의 쌍곡형, 기준에 무관한 시스템의 근사치로 얼마나 깊이까지 도출되는가?

주요 결과

• 속도장은 상대적이고 객관적이지 않은 텐서이지만, 절대 속도가 아니라 속도 차이로 표현될 경우 일관되게 독립적인 모델링 변수로 사용될 수 있다.
• 비관성 유클리드 변환에 기반한 표준 MFI 원칙은 기본 물리 법칙이 아니며, 관성 기준 프레임에만 적용되는 r-MFI로 대체되어야 한다.
• 난류 모델링에서는 MFI가 모델링 지침으로서 부족하며, 나비에-스토크스 방정식의 불변 성질을 보존하기 위해 독립된 공리인 난류 기준 프레임 무관성(TFI)이 필요하다.
• 확장된 열역학은 고전적 구성 관계(편평한 유형)가 고차수의 쌍곡형, 기준에 무관한 시스템의 근사치임을 보여주며, 맥스웰 반복적 방법이 고전적 유속 관계를 극한으로 복원함을 보여준다.
• 확장된 열역학에서의 유속 반복적 구성 과정은 기준 의존성이 흐름의 기본 구성 법칙(D.4)에는 존재하지 않으며, 유속의 기준 의존성은 오직 근사 과정(예: 맥스웰 반복)에서만 발생함을 드러낸다.
• 제안된 모델링 가정은 평균 속도장을 상대적 변수로 포함시킬 수 있게 하여, 난류 및 확장된 열역학에서의 물리적 관측과의 일관성을 체계적으로 향상시킨다.