[論文レビュー] Covariant Action for Self-Dual p-Form Gauge Fields in General Spacetimes

C.M. Hull|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2023

Cosmology and Gravitation Theories被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、固定されたミンコフスキー計量に依存するセンの理論を克服するため、第二の計量 $\bar{g}$ を導入することにより、一般の時空において自己双対 p 形式ゲージ場の共変作用を提示する。理論は物理的セクター（計量 $g$ における自己双対 p 形式）と、分離されたシャドウセクター（計量 $\bar{g}$ における自己双対 p 形式）から構成され、微分同相変換不変性を保ちつつ、任意の時空多様体上での定式化を可能にする。主な貢献は、自己双対ゲージ場に対して完全に共変的かつバックグラウンドに依存しない作用であり、量子論的にも一貫性を持つ。

ABSTRACT

Sen's action for a $p$-form gauge field with self-dual field strength coupled to a spacetime metric $g$ involves an explicit Minkowski metric and the presence of this raises questions as to whether the action is coordinate independent and whether it can be used on a general spacetime manifold. A natural generalisation of Sen's action is presented in which the Minkowski metric is replaced by a second metric $\bar g$ on spacetime. The theory is covariant and can be formulated on any spacetime. The theory describes a physical sector, consisting of the chiral $p$-form gauge field coupled to the dynamical metric $g$, plus a shadow sector consisting of a second chiral $p$-form and the second metric $\bar g$. The fields in this shadow sector only couple to each other and have no interactions with the physical sector, so that they decouple from the physical sector. The resulting theory is covariant and can be formulated on any spacetime. Explicit expressions are found for the interactions and extensions to include interactions with other physical fields or higher-derivative field equations are given. A spacetime with two metrics has some interesting geometry and some of this is explored here and used in the construction of the interactions.The action has two diffeomorphism-like symmetries, one acting only on the physical sector and one acting only on the shadow sector, with the spacetime diffeomorphism symmetry arising as the diagonal subgroup. This allows a further generalisation in which $\bar g$ is not a tensor field but is instead a gauge field whose transition functions involve the usual coordinate transformation together with a shadow sector gauge transformation.

研究の動機と目的

• センの自己双対 p 形式ゲージ場の作用が固定されたミンコフスキー計量 $\bar{g} = \text{diag}(-1,1,...,1)$ に依存する座標依存性の問題を解消すること。
• 平坦計量を備える時空に限定されない、任意の一般時空多様体上で有効な完全に共変的かつバックグラウンドに依存しない作用を構築すること。
• 物理的セクターにおける時空計量 $g$ による自己双対性を維持しつつ、第二の計量 $\bar{g}$ における自己双対性を持つシャドウセクターを導入すること。
• 物理的セクターとシャドウセクターそれぞれに作用する二つの独立した微分同相変換に類似した対称性を導入し、それらの対角部分群として時空の微分同相変換不変性を実現すること。
• 第二の計量 $\bar{g}$ が座標変換とシャドウセクター変換の組み合わせの下でゲージ場として変換するように一般化し、理論の幾何的構造を拡張すること。

提案手法

• センの固定されたミンコフスキー計量 $\bar{g}$ を、時空多様体上に動的な第二の計量 $\bar{g}_{\nu\beta}$ に置き換えることで、一般共変性を実現する。
• 第二のキラル p 形式ゲージ場 $C$ を導入し、その場強度 $G = dC$ を $\bar{g}$ に関して $\bar{*}$ を用いて自己双対性 $G = \bar{*}G$ にすることで、分離されたシャドウセクターを形成する。
• 物理的場強度 $F = dA$ に対して自己双対性 $F = \bar{*}F$ を強制するための射影作用素 $\bar{\rho}_+$ を用いて作用を構成する。一方、シャドウ場に対しては $G = \bar{*}G$ を満たす。
• 物理的セクター $(g, A)$ とシャドウセクター $(\bar{g}, C)$ それぞれに作用する二つの独立した微分同相変換に類似した対称性を導入し、時空の微分同相変換対称性がそれらの対角部分群として実現されるようにする。
• ビールビン形式を用い、フレーム接続 $\bar{\theta}^a$ を定義し、$M(Q) = \bar{\rho}_+(Q)$ により自己双対成分への射影を定義する。
• 作用の変分を導出し、$\bar{\rho}_+(R_\theta(F)) = R_\theta(\bar{\rho}_+(F))$ および $\bar{\rho}_+(R_\theta(G)) = R_\theta(\bar{\rho}_+(G))$ を確認することで、微分同相変換に対する不変性を検証し、一貫性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 センの自己双対 p 形式ゲージ場の作用を、任意の時空多様体上で完全に共変的かつ一般化できるか？
• RQ2 固定されたミンコフスキー計量を第二の時空計量 $\bar{g}$ に置き換えることで、物理的内容を保ちつつ微分同相変換不変性を確保できるか？
• RQ3 $\bar{g}$ における非物理的で自己双対性を持つシャドウセクターを導入するが、物理的セクターに影響を与えない方法は何か？
• RQ4 二つの独立した微分同相変換に類似した対称性が理論の構築に果たす役割は何か？それらはどのようにして時空の微分同相変換不変性を生成するか？
• RQ5 $\bar{g}$ を座標変換とシャドウセクター変換の組み合わせの下でゲージ場として扱い、理論の幾何的構造を拡張できるか？

主な発見

• 提案された作用は完全に共変的であり、座標依存性を解消したセンの元来の構成の問題を解決し、任意の時空多様体上で定式化可能である。
• 理論には物理的セクター（計量 $g$ における自己双対 p 形式）と、相互作用のない分離されたシャドウセクター（計量 $\bar{g}$ における自己双対 p 形式）が含まれており、物理的セクターの整合性が保たれる。
• 作用には物理的場 $(g, A)$ に作用する微分同相変換に類似した対称性と、シャドウ場 $(\bar{g}, C)$ に作用する別の独立した対称性が存在し、時空の微分同相変換不変性はそれらの対角部分群として実現される。
• パrameter $\theta^\nu$ による微分同相変換の作用の変分が、$\bar{\rho}_+(R_\theta(F)) = R_\theta(\bar{\rho}_+(F))$ を満たすとき、オンシェル上で消えることが示され、不変性が確認された。
• 場強度 $F = dA$ は計量 $g$ に関して自己双対であり、$G = dC$ は計量 $\bar{g}$ に関して自己双対である。$dF = 0$ および $dG = 0$ がオンシェル上で成り立つ限り、作用は $\theta$ によって生成される微分同相変換に対して不変である。
• この構成により、チェーン＝サイモンズ項や高階微分項の修正を用いた他の物理場との相互作用を含める一般化が可能であり、コア構造を保ったまま拡張できる。