[論文レビュー] Covariant differentiation of spinors for a general affine connection

Nikodem J. Popławski|ArXiv.org|Oct 22, 2007

Advanced Differential Geometry Research参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、計量適合性に制限されない一般のアフィン接続に対して、反対称的 Lorentz 接続を用いた Fock–Ivanenko 係数を用いてスピン場の共変微分を導出する。曲率スピン場はリーマン曲率テンソルと非計量性を用いて定式化され、スピン接続の射影的不変性が示され、曲がった時空におけるゲージ場の導入を可能にする。

ABSTRACT

We show that the covariant derivative of a spinor for a general affine connection, not restricted to be metric compatible, is given by the Fock-Ivanenko coefficients with the antisymmetric part of the Lorentz connection. The projective invariance of the spinor connection allows to introduce gauge fields interacting with spinors. We also derive the relation between the curvature spinor and the curvature tensor for a general connection.

研究の動機と目的

• 一般のアフィン接続（計量適合性に制限されない）に対するスピン場の共変微分を相対論的場理論の枠組みで一般化すること。
• 非計量性とねじれを含む計量–アフィン重力におけるスピン場計算の整合的定式化を確立すること。
• 一般のアフィン接続に対する曲率スピン場を導出し、リーマン曲率テンソルと関連付けること。
• スピン接続の射影的不変性と、これによるゲージ場相互作用への影響を調査すること。
• 非計量性とねじれを含む理論におけるスピン場と重力の結合の基礎を提供すること。

提案手法

• 四元標（tetrad）と Lorentz 接続を用いて、局所 Lorentz 不変性を保つように曲がった時空におけるスピン場を定義する。
• Fock–Ivanenko 係数を用い、Lorentz 接続の反対称部を用いてスピン場の共変微分を定義する。
• 生成子 $ G^{ab} $ を用いて、リーマンテンソルと非計量性の関数として曲率スピン場 $ K_{\mu\nu} $ を導出する。
• スピン接続の射影変換を導入し、その変換下でも曲率スピン場が不変であることを示す。
• 曲率スピン場を第二リッチテンソル $ Q_{\mu\nu} $ と関連付け、その変換性を検証する。
• 変換則 $ \omega^{ab}_{\mu} \to \omega^{ab}_{\mu} + \eta^{ab}A_{\mu} $ を用いて、射影的不変性とゲージ構造を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 計量適合性を満たさない一般のアフィン接続に対して、スピン場の共変微分を一貫して定義する方法は何か？
• RQ2 一般接続に対して、リーマン曲率テンソルと非計量性を用いて曲率スピン場の明示的表現はどのように得られるか？
• RQ3 スピン接続の射影的不変性は、曲がった時空におけるゲージ場の導入をどのように可能にするか？
• RQ4 スピン接続の射影変換の下で、曲率スピン場の変換性はどのように振る舞うか？
• RQ5 一般のアフィン接続下で、リッチテンソル $ R^{a}_{\mu} $、$ P^{a}_{\mu} $、$ Q_{\mu\nu} $ の間にはどのような関係があるか？

主な発見

• 一般のアフィン接続に対するスピン場の共変微分は、Lorentz 接続の反対称部を用いた Fock–Ivanenko 係数によって与えられる。
• 曲率スピン場 $ K_{\mu\nu} $ は、$ \frac{1}{4}R_{[\rho\sigma]\mu\nu}\gamma^{\rho}\gamma^{\sigma} - \frac{1}{8}N_{\rho\lambda[\mu}N^{\rho\sigma}_{\phantom{\rho\sigma}\nu]}\gamma^{\lambda}\gamma_{\sigma} $ として表現され、リーマンテンソルと非計量性とを結びつける。
• 曲率スピン場はスピン接続の射影変換に対して不変であり、これにより $ A_{\mu} $ を通じたゲージ場の導入が可能になる。
• 第二リッチテンソル $ Q_{\mu\nu} $ は $ Q_{\mu\nu} \to Q_{\mu\nu} + 8A_{[\nu,\mu]} $ と変換され、射影シフトに敏感であることが示される。
• $ [A_{\mu}, A_{\nu}] = 0 $ のとき、テンソル $ I^{a}_{\mu} = 4P^{a}_{\mu} - Q_{\mu\nu}e^{a\nu} $ は射影的に不変であり、保存構造を示す。
• リッチスカラー $ R $ とテンソル $ R^{a}_{\mu} $ は射影的に不変であり、接続の再定義下でも主要な幾何的不変量が保存される。