[論文レビュー] Covariant Geometric Prequantization of Fields

Igor V. Kanatchikov|ArXiv.org|Dec 11, 2000

Mathematics and Applications参考文献 1被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、空間+時間への分割を回避し、無限次元幾何を用いないDe Donder-Weylハミルトニアン形式を用いた、場の理論における共変的幾何的プリ.quantization枠組みを導入する。これは微分形式に作用するプリ.quantization作用素を介して、幾何的量子化を一般化し、ポisson-gerstenhaber括弧と勾配可換関係を確立する。さらに、クリフォードバンドルと超接続との自然な接続を通じて、明示的に共変的な量子化スキームを構築する。

ABSTRACT

A geometric prequantization formula for the Poisson-Gerstenhaber bracket of forms found within the DeDonder-Weyl Hamiltonian formalism earlier is presented. The related aspects of covariant geometric quantization of field theories are sketched. In particular, the importance of the framework of Clifford and spinor bundles and superconnections in this context is underlined.

研究の動機と目的

• 無限次元位相空間に起因する標準的幾何的量子化の場の理論における限界を克服すること。
• 空間+時間への分割を回避する明示的に共変な量子化枠組みを構築すること。
• 微分形式と多シンプレクティック幾何を用いて、有限次元力学系におけるプリ.quantization公式を場の理論へ一般化すること。
• ハミルトニアン形式のGerstenhaber代数構造と整合する一貫した作用素的量子化手順を確立すること。
• 得られた形式的枠組みが、既知のprecanonical量子化と関数的シュレーディンガー方程式の結果とどのように関連するかを明らかにすること。

提案手法

• 空間+時間への分解を回避するため、有限次元の多モーメント位相空間 $(p^\nu_a, \theta^a, x^\nu)$ をDe Donder-Weylハミルトニアン形式により定義する。
• 多シンプレクティック形式 $\Omega = d\phi^a \wedge dp^\nu_a \wedge \omega_\nu$ を用い、$f$-形式 $F$ から垂直多重量ベクトル場 $X_F$ への写像を $X_F \hskip 2.0pt\raisebox{-1.0pt}{\rule{6.0pt}{0.3pt}\rule{0.3pt}{8.0pt}}\hskip 3.0pt \Omega = dF$ により定義する。
• ハミルトニアン形式上でのポisson-gerstenhaber括弧 $\{[F,G]\} = (-)^{n-f} \pounds_{X_F}(G)$ を定義し、それらにGerstenhaber代数構造を与える。
• プリ.quantization作用素 $\hat{F} = i\hbar \pounds_{X_F} + (X_F \hskip 2.0pt\raisebox{-1.0pt}{\rule{6.0pt}{0.3pt}\rule{0.3pt}{8.0pt}}\hskip 3.0pt \Theta)\bullet + F\bullet$ を導入し、$d\Theta = \Omega$ を満たすようにすることで、$[\hat{F}_1, \hat{F}_2] = -i\hbar \widehat{\{[F_1,F_2]\}}$ を保証する。
• クリフォード化により $\omega_\mu \bullet = \kappa^{-1} \gamma_\mu$ を導入し、スピンル値波動関数への作用を可能にし、正定値内積を保証する。
• 垂直極化 $\Psi = \Psi(\phi^a, x^\nu)$ を適用することで、既知のprecanonical量子化結果、特に多時空的シュレーディンガー方程式を回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限次元位相空間や空間+時間への分割に依存せずに、幾何的量子化を場の理論へどのように一般化できるか。
• RQ2 De Donder-Weyl形式の文脈において、適切な共変的一般化されたプリ.quantization作用素とは何か。
• RQ3 微分形式上のポisson-gerstenhaber括弧は、場の理論における量子交換関係代数とどのように関係するか。
• RQ4 多シンプレクティック構造は超接続の曲率として解釈可能か。その幾何的量子化への意味は何か。
• RQ5 得られた形式的枠組みは、量子場理論における関数的シュレーディンガー方程式などの既知の結果をどのように再現するか。

主な発見

• プリ.quantization作用素 $\hat{F} = i\hbar \pounds_{X_F} + (X_F \hskip 2.0pt\raisebox{-1.0pt}{\rule{6.0pt}{0.3pt}\rule{0.3pt}{8.0pt}}\hskip 3.0pt \Theta)\bullet + F\bullet$ は、量子交換関係 $[\hat{F}_1, \hat{F}_2] = -i\hbar \widehat{\{[F_1,F_2]\}}$ を満たし、一貫した量子化写像を確立する。
• 作用素 $\hat{F}$ は非同次的であり、第1項が次数 $(n-f-1)$、他の項が次数 $(n-f)$ であるため、超接続に関連する共変微分構造を示唆する。
• 多シンプレクティック形式 $\Omega$ は超接続の曲率として現れ、古典的位相空間構造の幾何的解釈を提供する。
• クリフォード化 $\omega_\mu \bullet = \kappa^{-1} \gamma\_\mu$ を用いることで、スピンル値波動関数上の正定値スカラー内積が構成可能となり、ユニタリティが保証される。
• 垂直極化 $\Psi = \Psi(\phi^a, x^\nu)$ の下で、形式的枠組みはprecanonical量子化の結果 $i\hbar\kappa\gamma^\mu \partial_\mu \Psi = \widehat{H} \Psi$ を回復する。これは、量子場理論における標準的関数的シュレーディンガー方程式を含む。
• この枠組みは自然にクリフォードバンドルと超接続を組み込み、場の理論における標準的幾何的量子化の代替として、明示的に共変な代替を提供する。