[논문 리뷰] Covariant Hamiltonian formalism for the calculus of variations with several variables

Hélein, Frédéric, Joseph Kouneiher|ArXiv.org|2002. 11. 20.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 29인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 Lepage의 기하적 프레임워크를 사용하여 다변수 고전 장 이론에 대한 공변 해밀토니안 형식을 개발하며, de Donder–Weyl 접근법에 대한 상대론적으로 일관된 대안을 제공한다. Lepage 이론에서 비가역 라그랑지안에 대해 특이점 없이 다루는 레전드르 대응을 수립하고, 두 가지 다른 정의(포아송 유사 괄호와 시간 진화 기반)의 관측가능한 (n−1)-형식이 오직 Lepage 형식에서만 일치함을 증명하여, 상대론적 맥락에서 운동학적 및 역학적 관측가능성을 통합한다.

ABSTRACT

The main purpose in the present paper is to build a Hamiltonian theory for fields which is consistent with the principles of relativity. For this we consider detailed geometric pictures of Lepage theories in the spirit of Dedecker and try to stress out the interplay between the Lepage-Dedecker (LP) description and the (more usual) de Donder-Weyl (dDW) one. For instance the Legendre transform in the dDW approach is replaced by a Legendre correspondence in the LP theory, while ignoring singularities whenever the Lagrangian is degenerate. Moreover we show that there exist two different definitions of the observable (n-1)-forms which allows one to construct observable functionals by integration (which correspond to two different points of view: generalizing the law {p,q} = 1 or the law dF\dt = {H,F}), oddly enough we prove that these two definitions coincides only in the LP situation. Finally other contributions concerning this subject and examples are also given.

연구 동기 및 목표

• 다양한 변수를 가진 고전 장 이론에 대해 de Donder–Weyl 접근법의 한계를 넘어서 상대론적으로 일관된 해밀토니안 형식을 개발하는 것.
• Lepage–Dedecker와 de Donder–Weyl 형식을 비교하여, 비가역 라그랑지안과 기하학적 구조를 다룰 때의 이점에 중점을 두는 것.
• 두 가지 정의의 관측가능한 (n−1)-형식(포아송 유사 괄호 기반과 해밀토니안 시간 진화 기반)의 차이와 일치 조건을 명확히 하는 것.
• 특히 게이지 대칭이 존재할 경우 운동학적 및 역학적 관측가능성을 통합하는 프레임워크를 수립하는 것.
• 게이지 장 A_μ를 포함하여 위상공간을 확장함으로써, 게이지 불변 이론에서 역학적 관측가능한 (n−1)-형식을 구성하는 것.

제안 방법

• n차원 부분다양체가 (n+k)-차원 다양체 N에 임bed된 변분 문제에 대해 Lepage의 기하학적 공식을 사용하며, Grassmann 다발 Gr^n N과 n-형식의 다발 Λ^n T*N를 활용한다.
• 비가역 라그랑지안에서 특이점이 발생하지 않도록 표준 레전드르 변환의 대체로 Lepage 이론에서 레전드르 대응을 도입한다.
• 관측가능한 (n−1)-형식의 두 가지 다른 클래스를 정의: 하나는 포아송 유사 괄호 조건을 통해, 다른 하나는 해밀토니안 진화 방정식 dF/dt = {H,F}를 통해.
• Poincaré–Cartan n-형식 θ와 그 외미분 Ω = dθ를 사용하여 다중 symplectic 구조를 구성하며, θ = eω + p^μ du ∧ ω_μ로 표현된다.
• 게이지 장 A_μ와 그 쌍대 운동량 p^{μν}을 포함하여 위상공간을 확장하고, 게이지 불변성을 수용하기 위해 수정된 해밀토니안과 다중 symplectic 형식 Ω_1을 도입한다.
• 형식 F가 역학적 관측가능성임을 보여주는 조건을 유도: dF = −ξ_F ⌟ Ω 이고 dH(ξ_F) = 0 이며, 이는 해밀토니안 진화와 일관됨을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Lepage–Dedecker 형식은 비가역 라그랑지안에 대한 적용성과 기하학적 일반성 측면에서 de Donder–Weyl 접근법과 어떻게 비교될 수 있는가?
• RQ2 포아송 괄호 기반과 시간 진화 기반의 두 관측가능한 (n−1)-형식 정의가 일치하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 게이지 이론에 대해 역학적 관측가능한 (n−1)-형식을 구성할 수 있는가? 그리고 게이지 장의 포함이 관측가능성 구조에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 Lepage 이론에서 레전드르 대응의 역할은 무엇이며, 비가역 경우에서 표준 레전드르 변환을 어떻게 일반화하는가?
• RQ5 게이지 잠재력을 포함한 확장된 위상공간은 최소 형식에 비해 더 넓은 범위의 역학적 관측가능성을 어떻게 허용하는가?

주요 결과

• 포아송 괄호 {p,q}=1 기반과 시간 진화 법칙 dF/dt={H,F} 기반의 두 관측가능한 (n−1)-형식 정의는 오직 Lepage 형식에서만 일치하며, de Donder–Weyl 프레임워크에서는 일치하지 않는다.
• Lepage 형식에서 레전드르 대응은 표준 레전드르 변환의 대체로 기능하며, 비가역 라그랑지안을 특이점 없이 자연스럽게 다룬다.
• 포텐셜이 V(|ϕ|²/2) = m²|ϕ|²/2인 경우, 역학적 관측가능한 (n−1)-형식 F₀는 켈린–골드본 방정식 LU + m²U = 0의 임의의 해 Uᵃ를 포함하는 항을 포함한다.
• 포텐셜이 비제곱일 경우, 유일하게 생존하는 역학적 관측가능형은 U(1) 전역 대칭 전류뿐이며, F₀ = λ(p^μ₁ϕ² − p^μ₂ϕ¹)ω_μ 로 표현된다.
• 게이지 장 A_μ와 그 쌍대 운동량 p^{μν}을 포함함으로써, 형식은 더 넓은 범위의 역학적 관측가능성을 수용하게 되며, 예를 들어 F₁ = ψ(x)(p^μ₁ϕ² − p^μ₂ϕ¹)ω_μ − ½ p^{μν} dψ ∧ ω_{μν} 와 같은 형식이 dH(ξ_F) = 0 를 만족한다.
• 확장된 시스템은 게이지 장이 포함된 경우 매끄러운 함수 ψ(x)를 계수로 가지는 역학적 관측가능성을 허용하며, 최소 형식에서의 비역학적 형식 문제를 해결한다.