[論文レビュー] Covariant Hamiltonians, sigma models and supersymmetry

Ulf Lindström|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2020

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、フェルミオン的微分の双対となるスピンルルール運動量を用いて、(1,1) supersymmetric sigma model の共変ハミルトニアン形式を導入し、De Donder-Weyl形式を超対称空間へ一般化する。多シンプレクティック構造とハミルトニアン multivector を導出し、ラグランジアン方程式と同等であることを示し、拡張された位相空間を通じて追加の非自明な超対称性を明らかにする。特に、T ⊕ T* ⊕ T* 上の一次元親作用素は、ターゲット空間幾何における特定の幾何的条件のもとで強化された超対称性を示す。

ABSTRACT

We introduce a phase space with spinorial momenta, corresponding to fermionic derivatives, for a 2d supersymmetric (1, 1) sigma model. We show that there is a generalisation of the covariant De Donder-Weyl Hamiltonian formulation on this phase space with canonical equations equivalent to the Lagrangian formulation, find the corresponding multisymplectic form and Hamiltonian multivectors. The covariance of the formulation makes it possible to see how additional non-manifest supersymmetries arise in analogy to those of the Lagrangian formulation. We then observe that an intermediate phase space Lagrangian defined on the sum of the tangent and cotanget spaces is a first order Lagrangian for the sigma model and derive additional supersymmetries for this.

研究の動機と目的

• スピンルルール運動量 S±i = ∂L/∂D±φi を用いて、(1,1) supersymmetric sigma model の共変ハミルトニアン形式を構築すること。
• De Donder-Weyl ハミルトニアン形式を超対称空間へ一般化し、(1,1) スーパーポincare 不変性を保存すること。
• T ⊕ T* ⊕ T* 上の拡張位相空間モデルを解析することで、追加の非自明な超対称性を同定すること。
• 一般化幾何学とハミルトニアン構造を結びつけ、ねじれと計量適合性を有する状況において Gualtieri 型写像の出現を特に注目すること。
• ラグランジアンとハミルトニアン構造を統一する一次元親作用素を導出し、拡張された超対称性の系的解析を可能とすること。

提案手法

• スピンルルール運動量 S±i = ∂L/∂D±φi を導入し、ラグランジアンから De Donder-Weyl ハミルトニアン HDW = S−i Eij S+i への共変ルジャンドル変換を実施する。
• 多シンプレクティック形式 Ω = Cαβ Eβ ∧ dφi ∧ dSαi とハミルトニアン multivector X = XAα ∂A ∧ Eα を構築し、正準方程式を符号化する。
• HDW から導かれる De Donder-Weyl 方程式 Dαφi = ∂HDW/∂Sαi および DαSαi = ∂HDW/∂φi を導出し、正則関係を課したとき、元の場の運動方程式と同等であることを示す。
• 階数反対称化とホッジ双対性を用いて一般化されたポアソン括弧 { , }GP を定義し、共役対 {φi, Sj}GP = δij を得る。
• 位相空間 T ⊕ T* ⊕ T* 上に一次元親作用素 Zt E Z を構築する。ここで Z = (D+φi, D−φi, S−i, S+i) であり、E は計量とねじれを符号化する対称行列である。
• 親作用素の拡張超対称変換 δφi = ε+ J(+)i j D+φj + ε− J(−)i j D−φj による不変性を解析し、閉じており共変であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 De Donder-Weyl ハミルトニアン形式を、スピンルルール運動量を用いた (1,1) スーパーポテンシャルシグマモデルへどのように一般化できるか？
• RQ2 この超対称的共変ハミルトニアン枠組みにおける多シンプレクティック形式とハミルトニアン multivector の構造は何か？
• RQ3 T ⊕ T* ⊕ T* 上の拡張位相空間モデルから、追加の非自明な超対称性はどのように生じるか？
• RQ4 これらの拡張超対称性の存在に必要なターゲット空間幾何の条件（計量 Gij、B場 Bij、ねじれ Hijk）は何か？
• RQ5 T ⊕ T* ⊕ T* 上の一次元親作用素は、ラグランジアンとハミルトニアン形式をどのように統合し、隠れた対称性を明らかにするか？

主な発見

• 共変ハミルトニアン HDW = S−i Eij S+i は完全に (1,1) スーパーポincare 不変であり、元のラグランジアン場の運動方程式と同等である。
• 正則関係を課したとき、HDW から導かれる De Donder-Weyl 方程式は、場の運動方程式 (2.4) を再現する。
• 多シンプレクティック形式 Ω = Cαβ Eβ ∧ dφi ∧ dSαi とハミルトニアン multivector X は、X⌟Ω = dHDW を満たし、力学の幾何的定式化を提供する。
• 一般化されたポアソン括弧 { , }GP は {φi, Sj}GP = δij および {Qiα, H}GP = ∂iα HDW を満たし、正則共役性を確認する。
• 一次元親作用素 Zt E Z は、J(±) が計量を保存しねじれのない接続である限り、拡張超対称変換 δφi = ε+ J(+)i j D+φj + ε− J(−)i j D−φj に対して不変である。
• B = 0 のとき、運動量変換 δS±i は δS+i = ε+ (Jk i ∇−S−k − Jks S−s S+n Γn ki) および δS−i = −ε+ (Jk i ∇+S−k + Jks S−s S−n Γn ki) に簡略化され、超対称代数のもとで閉じていることが示される。