[논문 리뷰] Covariant Quantum Error Correcting Codes via Reference Frames

Yuxiang Yang, Yin Mo외 3명|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 17.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 54인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 양자 기준 프레임을 활용하여 국소 SU(d) 대칭성에 대해 추상적인 양자 오류 수정 코드를 제안하며, 이를 통해 소실 오류를 효율적으로 수정할 수 있다. 이 코드들은 희박한 소실 상황에서는 $1/n^2$의 오차 스케일링을, 농도 높은 소실 상황에서는 $1/n$의 오차 스케일링을 달성하며, 둘 다 최적이다. 이는 근사 대칭 공변성 덕분에 이스트인-크닐 정리의 제약을 우회한다.

ABSTRACT

Error correcting codes with a universal set of transversal gates are the desiderata of realising quantum computing. Such codes, however, are ruled out by the Eastin-Knill theorem. Moreover, it also rules out codes which are covariant with respect to the action of transversal unitary operations forming continuous symmetries. In this work, starting from an arbitrary code, we construct approximate codes which are covariant with respect to local $SU(d)$ symmetries using quantum reference frames. We show that our codes are capable of efficiently correcting different types of erasure errors. When only a small fraction of the $n$ qudits upon which the code is built are erased, our covariant code has an error that scales as $1/n^2$, which is reminiscent of the Heisenberg limit of quantum metrology. When every qudit has a chance of being erased, our covariant code has an error that scales as $1/n$. We show that the error scaling is optimal in both cases. Our approach has implications for fault-tolerant quantum computing, reference frame error correction, and the AdS-CFT duality.

연구 동기 및 목표

• 정확한 양자 오류 수정 코드에서 전이적 보편 게이트와 연속 대칭 공변성을 동시에 갖는 것이 금지되는 이스트인-크닐 정리를 극복하기 위해.
• 양자 기준 프레임을 사용하여 국소 SU(d) 대칭성에 대해 공변하는 근사 양자 오류 수정 코드를 구축하기 위해.
• 고장 내성 방식으로 희박한 소실 및 농도 높은 소실 오류를 효율적으로 수정하기 위해.
• 다양한 소실 조건 하에서 최적의 오차 스케일링 행동을 보여주며, 양자 미세측정 이론의 한계와 일치시키기 위해.

제안 방법

• 임의의 양자 코드에서 시작하여, 국소 SU(d) 대칭성에 대한 공변성을 유도하기 위해 양자 기준 프레임을 사용해 근사 코드를 구성한다.
• 논리적 연산이 기준 프레임을 통해 코드 공간을 공변적으로 변환하는 대칭적 인코딩 방식을 사용한다.
• 근사로 인해 발생하는 오차를 정량화하기 위해 편미분 분석을 적용하며, 이로 인해 체계 크기 n에 따라 유리하게 스케일링됨을 보장한다.
• 소량의 큐비트만 소실되는 경우와 모든 큐비트가 비제로의 소실 확률을 갖는 경우의 두 가지 소실 조건에 대해 오차 한계를 유도한다.
• 양자 미세측정 이론과 오류 수정 이론에서 알려진 한계와 비교하여 오차 스케일링이 최적임을 입증한다.
• 공변 코드의 구조를 통해 고장 내성 양자 계산과 AdS-CFT 대응관계에 대한 연결 고리를 설정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소 SU(d) 대칭성에 대해 공변하는 근사 양자 오류 수정 코드를 제작할 수 있으며, 이는 이스트인-크닐 정리를 우회할 수 있는가?
• RQ2 큐비트의 희박한 소실 조건 하에서 이러한 공변 코드가 달성할 수 있는 최적의 오차 스케일링은 무엇인가?
• RQ3 모든 큐비트에 동일한 소실 확률이 적용될 경우 오차 스케일링은 어떻게 변화하는가?
• RQ4 제안된 코드들이 양자 미세측정 이론의 헤이젠베르크 한계에 맞는 오차 스케일링을 달성할 수 있는가?
• RQ5 이 코드들이 고장 내성 양자 계산과 AdS-CFT 대칭성에 대해 어떤 함의를 지닌다?

주요 결과

• 희박한 소실 상황에서 전체 $n$ 큐비트 중 소량의 큐비트만 소실될 경우, 구성된 공변 코드는 양자 미세측정 이론의 헤이젠베르크 한계와 일치하는 $1/n^2$의 오차 스케일링을 달성한다.
• 모든 큐비트에 균일한 소실 확률이 적용될 경우 오차는 $1/n$으로 스케일링되며, 주어진 조건 하에서는 최적이다.
• 두 상황 모두에서 오차 스케일링이 최적임을 증명하여, 해당 근사 수준에서 얻을 수 있는 최상의 성능을 달성함을 나타낸다.
• 양자 기준 프레임의 사용은 근사 대칭 공변성을 가능하게 하며, 정확한 전이적 게이트가 필요 없이도 이스트인-크닐 정리를 효과적으로 우회한다.
• 이 코드들은 다양한 종류의 소실 오류를 효율적으로 수정하며, 실제 노이즈 모델에서도 강건함을 보여준다.
• 이 프레임워크는 고장 내성 양자 계산에 직접적인 함의를 지니며, AdS-CFT 대칭성의 맥락에서 양자 코드의 구조에 대해 새로운 통찰을 제공한다.