[論文レビュー] Covering groupoids of categorical groups

Osman Mucuk, Tunçar Şahan|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2016

Fuzzy and Soft Set Theory被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、H-群の基本群族が圏的群であることを確立し、H-群の被覆空間の圏とその基本群族の被覆群族の圏との同値性を可能にする。主な貢献は、H-群構造が普遍被覆へと持ち上がることを証明し、同じ演算の下で被覆がH-群となることである。

ABSTRACT

If $X$ is a topological group, then its fundamental groupoid $π_1X$ is a group-groupoid which is a group object in the category of groupoids. Further if $X$ is a path connected topological group which has a simply connected cover, then the category of covering spaces of $X$ and the category of covering groupoids of $π_1X$ are equivalent. In this paper we prove that if $(X,x_0)$ is an $H$-group, then the fundamental groupoid $π_1X$ is a categorical group. This enable us to prove that the category of the covering spaces of an $H$-group $(X,x_0)$ is equivalent to the category of covering groupoid of the categorical group $π_1X$.

研究の動機と目的

• H-群の基本群族の代数的構造を調査すること。
• H-群の基本群族に圏的群構造を確立すること。
• H-群の被覆空間の圏とその基本群族の被覆群族の圏との同値性を証明すること。
• 空間上のH-群構造が、群族の持ち上げ定理を介してその普遍被覆へと持ち上がることを示すこと。
• 圏的群論と被覆準同型を用いて、位相群の結果をH-群へと一般化すること。

提案手法

• 連続的な乗法、逆元、ホモトピー的単位元を備えたH-群構造を用い、基本群族π₁Xがホモトピー的同値条件下で整合性を満たす関手（乗法、逆元、単位元）を備える圏的群構造を有することを示す。
• 被覆ホモトピー定理を適用し、基底空間の基本群族からその普遍被覆への関手（乗法、逆元、単位元）の持ち上げを実行する。
• 単連結な群族は1連結であるという事実を活用し、関手およびホモトピーの一意的持ち上げを可能にする。
• 基本群族の被覆空間と被覆群族の間の同値性を活用し、H-群の被覆と圏的群族の被覆を関連付ける。
• ホモトピーの持ち上げを介して、持ち上げられた関手が要求される整合性条件（結合律、単位律、逆元）をホモトピー的同値で満たすことを証明する。
• 群族の被覆準同型が基本群族の部分群に対応することを活用し、これにより圏的群準同型へと拡張されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 H-群の基本群族は圏的群構造を有するか？
• RQ2 H-群の被覆空間の圏は、その基本群族の被覆群族の圏と同値か？
• RQ3 空間上のH-群構造は、群族の被覆理論を介してその普遍被覆へと持ち上がるようにできるか？
• RQ4 H-群の基本群族の被覆準同型が、圏的群準同型へと持ち上がるための条件は何か？
• RQ5 H-群の普遍被覆は、元の空間からのH-群構造をどのように引き継ぐか？

主な発見

• H-群(X,x₀)の基本群族π₁Xは、ホモトピー的同値条件下で整合性を満たす乗法、逆元、単位元の関手を備える圏的群である。
• H-群(X,x₀)の被覆空間の圏は、圏的群π₁Xの被覆群族の圏と同値である。
• (X,x₀)が単連結な普遍被覆(X̃,x̃₀)を備えるH-群であれば、X上のH-群構造はX̃へと持ち上がり、X̃はH-群となる。
• 被覆写像p: (X̃,x̃₀) → (X,x₀)は、持ち上げられた演算の下でH-群の準同型となる。
• 普遍被覆の1連結性と被覆群族のホモトピーの持ち上げ性により、H-群構造の持ち上げが保証される。
• π₁X̃上の持ち上げられた乗法および逆元関手は、ホモトピー的同値で要求される結合律および単位律を満たし、適切に定義された圏的群構造が保証される。