[論文レビュー] Coverings and fundamental groups: a new approach

Jerzy Dydak|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 17被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、基本群を定義する際に、まず普遍被覆を定義し、その後で基本群をデック変換の群として導出する、新たなアプローチを提示する。ドミンゴ・ヘッジホッグ被覆を用いて、すべての道路連結空間に対して普遍被覆理論を確立し、最大被覆のモノドロミー群を新たな基本群として定義することで、古典的理論をポアンカレ空間を超えて一般化する。

ABSTRACT

The traditional approach of defining the fundamental group first and then constructing universal coverings works well only for the class of Poincar\' e spaces. For general spaces there were several attempts to define generalized coverings (see \cite{BP3}, \cite{BDLM}, and \cite{FisZas}), yet there is no general theory so far that covers all path connected spaces. In this paper we plan to remedy that by changing the order of things: we define the universal covering first and its group of deck transformations is the new fundamental group of the base space. The basic idea is that a non-trivial loop ought to be detected by a covering (not by extension over the unit disk): a loop is non-trivial if there is a covering such that some lift of the loop is a non-loop. So it remains to define coverings: the most natural class is the class of maps that have unique disk lifting property. To make the theory work one needs to add the assumption that path components of pre-images of open sets form a basis of the total space.

研究の動機と目的

• すべての道路連結空間に適用可能な普遍被覆理論を構築すること、特に半局所的に単連結でない空間にも適用可能であること。
• 古典的なループによる定義ではなく、最大被覆のデック変換の群として基本群を再定義すること。
• 局所的に却して単連結でない空間における古典的基礎群の限界を、持ち上げに基づくアプローチによって克服すること。
• ドミンゴ・ヘッジホッグのクラスを表す$π$として、最大$π$-被覆のモノドロミー群として$π$-基礎群を導入すること。
• 最大ドミンゴ・ヘッジホッグ被覆がすべての道路連結空間に対して普遍的対象をなすことを示し、被覆理論を統一すること。

提案手法

• クラス$π$のペアノ空間のすべての空間に対して一意的な持ち上げが存在する写像として$π$-被覆を定義する。
• ループの作用によるファイバー$p^{-1}(b_0)$上の作用の同値類としてモノドロミー群$\pi(p,b_0)$を定義する。
• 任意の空間$B$に対して、経路類の終点射影を用いて最大$π$-被覆$p_\mathcal{P}: \tilde{B}_\mathcal{P} \to B$を構成する。
• 全被覆空間が良好に振る舞い、局所的に道路連結になるように、ホイスクァー位相を用いる。
• 最大$π$-被覆のモノドロミー群として$π$-基礎群を定義する。ここで$π$はドミンゴ・ヘッジホッグのクラスを表す。
• 最大ドミンゴ・ヘッジホッグ被覆が普遍的であることを示す。具体的には、すべての古典的被覆がそれを通して因数分解され、その核がスパンナー群に一致することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半局所的に単連結でない空間を除くすべての道路連結空間に対し、普遍被覆理論を構築できるか？
• RQ2 古典的手法が失敗する状況において、基本群の正しい一般化とは何か？
• RQ3 被覆のモノドロミー群をどのように用いて、非自明なループを捉える新しい基本群を定義できるか？
• RQ4 スパンナー群は、古典的基礎群から新しい$π$-基礎群への写像の核を特徴づける役割を果たすか？
• RQ5 すべての道路連結空間に対して、ポアンカレ空間の古典的普遍被覆を一般化する普遍被覆が存在するか？

主な発見

• 任意の道路連結空間$B$に対して、$π$をドミンゴ・ヘッジホッグのクラスとするとき、最大$π$-被覆が存在し、これは$π$-被覆の圏における普遍的対象として機能する。
• 最大ドミンゴ・ヘッジホッグ被覆のモノドロミー群は、デック変換の群と同型であり、これが空間$B$の新しい基本群として定義される。
• 自然な写像$\pi_1(B,b_0) \to \pi(p,b_0)$の核は、正確にスパンナー群であり、これはループをループに持ち上げるための障害を捉えている。
• 新しい基本群は、古典的基礎群が自明であっても、非ループの持ち上げを通じて非自明なループを検出できる。
• 理論は古典的被覆理論を一般化する：ポアンカレ空間では、新しい基本群は古典的ものと一致する。
• 最大ドミンゴ・ヘッジホッグ被覆は、すべての古典的被覆がそれを通じて因数分解されることから、弧ヘッジホッグ被覆の圏において最大の可能な被覆として普遍的である。