[論文レビュー] Critical behaviors of non-stabilizerness in quantum spin chains

Poetri Sonya Tarabunga|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2023

Quantum many-body systems被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、 conformal field theory (CFT) における臨界量子スピン鎖における非安定化性——資源理論的測度「マナ」によって定量化される——を調査し、相互マナがCFTにおいて距離に比例して普遍的な対数的スケーリングを示すことを示した。Rényi一般化マナと統計力学的マッピングによる自由エネルギー計算を用いることで、臨界状態でもこのスケーリングが成立し、局所的基底変更に対しても安定していることが示された。非可積分モデルに対しても同様の結果が得られた。

ABSTRACT

Non-stabilizerness - commonly known as magic - measures the extent to which a quantum state deviates from stabilizer states and is a fundamental resource for achieving universal quantum computation. In this work, we investigate the behavior of non-stabilizerness around criticality in quantum spin chains. To quantify non-stabilizerness, we employ a monotone called mana, based on the negativity of the discrete Wigner function. This measure captures non-stabilizerness for both pure and mixed states. We introduce Rényi generalizations of mana, which are also measures of non-stabilizerness for pure states, and utilize it to compute mana in large quantum systems. We consider the three-state Potts model and its non-integrable extension and we provide strong evidence that the mutual mana exhibits universal logarithmic scaling with distance in conformal field theory, as is the case for entanglement.

研究の動機と目的

• conformal field theory (CFT) に従う量子臨界スピン鎖における非安定化性（マナで定量化）の挙動を調査すること。
• 相互マナが、エンタングルメントやシャノン相互情報量と同様に、CFTにおける部分系間距離に比例して普遍的な対数的スケーリングを示すかどうかを特定すること。
• 大型量子系におけるマナを評価する計算的に実行可能な手法の開発、特に小規模な正確対角化を超える分野での応用。
• 局所的ユニタリ変換や非可積分モデルにおける対数的スケーリングの頑健性の評価。
• 相互マナのスケーリングの勾配と、基礎となるCFTの中心電荷との関係を確立すること。

提案手法

• 奇素数次元のクーディットにおける非安定化性のモノトーンな測度である、離散Wigner関数の負の性質に基づくマナ測度を用いる。
• 大型系における全状態マナの効率的計算を可能にするために、マナのRényi一般化を導入する。
• マナの計算を、離散Wigner関数から導かれる補助古典スピン系における自由エネルギー計算にマッピングする。
• 三状態Pottsモデルおよびその非可積分拡張の基底状態をシミュレートするために、テンソルネットワーク技術（iTNSとITensorライブラリ）を用いる。
• 局所的ユニタリ変換（例：$T_\theta^{\bigotimes N}$）を適用して、対数的スケーリングの基底依存性をテストする。
• 部分系サイズ$\rho$および系サイズ$L$の関数としての相互マナ$I_{\text{M}}(\rho)$を、臨界相とギャップあり相の間で比較して分析する。

Figure 1: (a) Mana density $\mathcal{M}/L$ in the vicinity of the critical point $h=1$ in the three-state quantum Potts model. (b) Data collapse of the mana density $m=\mathcal{M}/L$ with $\gamma\approx 0.83$ and $\nu\approx 0.85$ . The correlation-length exponent $\nu$ is close to the known $\nu_{P

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子臨界スピン鎖における相互マナは、CFTにおけるエンタングルメントエントロピーと同様に、距離に比例して普遍的な対数的スケーリングを示すか？
• RQ2 相互マナの対数的スケーリングの勾配は、基礎となるCFTの中心電荷に関連しているか？
• RQ3 クーディット基底のユニタリ回転などの局所的基底変更に対して、対数的スケーリングはどれほど頑健か？
• RQ4 拡張Pottsモデル（$p \neq 0$）のような非可積分モデルに対しても、対数的スケーリングは成立するか？
• RQ5 ギャップあり相では相互マナが飽和し、臨界点でのみ非ゼロとなるか？

主な発見

• 三状態Pottsモデルの臨界点において、相互マナは明確な対数的スケーリングを距離$\ell$に関して示し、$I_{\mathcal{M}} \sim \log\left[\frac{L}{\pi} \sin\left(\ell \frac{\pi}{L}\right)\right]$ の形をとる。
• 非可積分摂動パラメータ$p$の異なる値に対しても、対数的スケーリングの勾配はほぼ一定であり、可積分性とは無関係な普遍性を示唆している。
• 局所的ユニタリ変換（$\theta = 2/9$まで）に対して、相互マナの対数的スケーリングは頑健であるが、$\theta = 3/9$ではやや明確でなくなる可能性があり、有限サイズ効果に起因する可能性がある。
• 臨界性から離れた領域（例：$h > 1$ または $h < 1$）では、相互マナは大きな部分系サイズ$\ell$に対して飽和し、臨界性の特徴であることが確認された。
• 結果から、エンタングルメントと同様に、非安定化性もCFTの普遍的特徴であり、有限深さの量子回路ではそれを効率的に除去できないことが示唆され、CFTの古典的シミュレーションの困難性を示している。
• 相互マナのスケーリングの勾配はおそらく普遍的であり、CFTに起因するが、エンタングルメントにおける$c/4$関係とは異なり、単純な関係式では表されない可能性がある。

Figure 2: Mutual mana $I_{\mathcal{M}}(\ell,L)$ in the ground state of the quantum Potts model at the critical point $h/J=1$ with (a) $J=1$ and (b) $J=-1$ . The solid line denotes the linear fit obtained for the largest size. Clearly the data of different system sizes collapse in the straight line.