[論文レビュー] Critical ideals of trees

Hugo Corrales, Carlos E. Valencia|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2015

Graph theory and applications参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、各頂点にループを追加したグラフにおける最小2マッチングを用いて、木の臨界的理想の組合せ的特徴付けを提供する。木の代数的余ランクがその2マッチング数に等しいことを証明し、臨界群の不変因子がこれらのマッチングに関連する多項式のGCDを通じて計算可能であることを示し、正則木に対する既知の結果を回復するとともに、臨界的理想が自明となるのはパスグラフが唯一であることを特定する。

ABSTRACT

Given a graph $G=(V, E)$, its generalized Laplacian matrix is given by \[ L(G,X_G)_{u,v}= \begin{cases} x_u& ext{if }u=v,\\ -m_{uv}& ext{if }u eq v, \end{cases} \] where $X_G=\{x_u\, | \, u\in V(G)\}$ is a set of indeterminates and $m_{uv}$ is the number of edges between $u$ and $v$. The $j$-critical ideal of $G$ is the determinantal ideal generated by the minors of size $j$ of $L(G, X)$. A $2$-matching of $G$ is a subset $\mathcal{M}$ of its edges such that every vertex of $G$ has at most two incident edges in $\mathcal{M}$. We give a combinatorial description of a set of generators of the $j$-critical ideal of a tree $T$ as a function of a set of special $2$-matchings, which we called minimal, of the graph $T^\ell$ obtained from $T$ by adding a loop at each of its vertices. Also, we prove that the algebraic co-rank of $T$ is equal to the $2$-matching number of $T$, the maximum number of edges of a $2$-matching of $T$. As a consequence, one can compute each invariant factor of the critical group of any graph $G$ such that $G\setminus v$ is a tree for some of its vertices $v$, as the greatest common divisor of the evaluation of some polynomials associated to the minimal $2$-matchings of $T^\ell$. For instance, in the regular case, we recover some of the results obtained by Levine and Toumpakari about the critical group of a wired regular tree. Additionally, we can prove that the path $P_n$ is the unique simple graph with $n$ vertices and $n-1$ trivial critical ideals. We conjecture that the set of generators that we give is a reduced Gröbner basis and we can prove this for the $|V(T)|-1$-critical ideal. Finally, we apply the result in order to calculate the critical ideals of trees with depth two and some arithmetical trees associated to the reduction of elliptic curves of Kodaira type $I_n^*$.

研究の動機と目的

• 木 T の j 番目の臨界的理想の組合せ的記述を、各頂点にループを追加した T^ℓ における2マッチングを用いて行う。
• 木の代数的余ランクがその2マッチング数（2マッチングの最大サイズ）に等しいことを確立する。
• 頂点削除部分グラフが木であるようなグラフ G に対して、その臨界群の不変因子を、最小2マッチングから得られる多項式の評価を通じて計算可能であるようにする。
• 最小2マッチングから得られる生成元が、臨界的理想の（n−1）番目の理想に対しては、削約されたグレブナー基底をなすと予想し、この予想を（n−1）番目の理想について証明する。
• 深さ2の木およびカイラ・型 I_n^* 楕円曲線に付随する算術的グラフに対して、臨界的理想を計算するための枠組みを適用する。

提案手法

• 不定元 x_u を対角成分に、非対角成分に辺の重みの負の値を持つ一般化されたラプラシアン行列 L(G,X_G) を定義する。
• L(T,X_T) のすべての j×j 主小行列式によって生成される理想として、j 番目の臨界的理想 I_j(T,X_T) を定義する。
• T^ℓ（各頂点にループを追加した T）における最小2マッチングと、L(T,X_T) の特定の主小行列式 d(ℳ,X) 間の対応関係を構築する。
• 2マッチングの組合せ的性質を用いて、各 j に対してこれらの主小行列式の集合が I_j(T,X_T) を生成することを証明する。
• これらの主小行列式を次数ベクトルで評価することにより、臨界群の不変因子を GCD を用いて計算する。
• 深さ2の木およびカイラ型 I_n^* 減少数に付随する算術的グラフに対して、この枠組みを適用して臨界的理想を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 木の臨界的理想は、木のループ付きバージョンにおける2マッチングを用いてどのように組合せ的に記述できるか？
• RQ2 木の代数的余ランクとその2マッチング数の間にはどのような関係があるか？
• RQ3 頂点削除部分グラフが木であるようなグラフ G に対して、その臨界群の不変因子は、T^ℓ の最小2マッチングから得られる多項式の GCD を用いて計算可能か？
• RQ4 最小2マッチングに関連する主小行列式の集合は、木の j 番目の臨界理想に対して削約されたグレブナー基底をなすか？
• RQ5 カイラ型 I_n^* 減少数に付随する算術的グラフから得られる木の臨界的理想は何か？

主な発見

• 木 T の j 番目の臨界的理想は、T^ℓ のサイズ j の最小2マッチング ℳ に関連する主小行列式 d(ℳ,X) によって生成される。
• 木 T の代数的余ランクは、その2マッチング数（2マッチングの最大サイズ）に等しい。
• パスグラフ P_n に対しては、すべての j < n に対して臨界的理想は自明であり、I_{n-1}(P_n,X) = ⟨1⟩ である。このため、P_n は n 頂点を持つ単純グラフの中で唯一、臨界的理想が自明である。
• 頂点削除部分グラフが木であるようなグラフ G の臨界群の不変因子は、T^ℓ の最小2マッチングに関連する多項式の評価の GCD として計算可能である。
• 算術的グラフ (C_{5,m}, d_{5,m}, r_{5,m}) の臨界群は、m が偶数のとき ℤ₂²、m が奇数のとき ℤ₄ である。これは m の偶奇性に依存する。
• 木の (n−1) 番目の臨界理想は、サイズ n−1 の最小2マッチングに関連する主小行列式によって構成される削約されたグレブナー基底をもつ。