[論文レビュー] Critical parameters for non-hermitian Hamiltonians

Francisco M. Fernández, Javier Garcia|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2013

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、非エルミート的PT対称ハミルトニアンの実固有値が縮退し複素数に移行する臨界パラメータ（特異点）を、1次元系および剛体回転子モデルの複数にわたり、対角化法（DM）を体系的かつ応用的に用いて計算する。主な貢献は、標準的な非破れPT対称性基準を越えて一般化された実固有値の条件を提示したことであり、従来の基準が失敗するが一般化された条件が成立する非エルミート的3次元剛体回転子モデルにおいて、その有効性が明確に示されている。

ABSTRACT

We calculate accurate critical parameters for a class of non-hermitian Hamiltonians by means of the diagonalization method. We study three one-dimensional models and two perturbed rigid rotors with PT symmetry. One of the latter models illustrates the necessity of a more general condition for the appearance of real eigenvalues that we also discuss here.

研究の動機と目的

• 非エルミート的PT対称性を有する多様なハミルトニアンの臨界パラメータを高精度に計算すること。
• 実固有値が縮退し複素共役に移行する特異点近傍における固有値の挙動を調査すること。
• 標準的な非破れPT対称性基準を越えて、実固有値の成立を保証するより一般化された条件を提唱・検証すること。
• さまざまなモデル、特に摂動を受ける剛体回転子を含め、臨界パラメータおよび固有値の漸近的スケーリングを分析すること。
• 非エルミート的量子系における特異点を計算するにあたり、対角化法の効率性と正確性を示すこと。

提案手法

• ハミルトニアンを有限次元の固有関数基底で表現し、シュレーディンガー方程式を行列固有値問題に変換することで、対角化法（DM）を適用する。
• 波動関数の展開に調和振動子または球面調和関数の基底を用い、ハミルトニアンの行列要素を計算する。
• 連立式の行列式に再帰関係を適用し、大きな基底切り捨てにおいて固有値を、行列式の根として求める。
• 実固有値の一般化された条件を実装する：$\hat{H}\hat{A}|\psi\rangle = E\hat{A}|\psi\rangle$。これは、反ユニタリ演算子$\hat{A}$の下で縮退した固有状態を許容するものであり、$\hat{A}|\psi\rangle \neq \lambda|\psi\rangle$ であっても成立する。
• 異方的振動子、ディリクレ境界系、虚数結合項を有する摂動付き剛体回転子などのモデルを分析する。
• 摂動的結果とDMで得られた固有値を比較し、収束性と正確性を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非エルミート的PT対称ハミルトニアンの臨界パラメータ（特異点）は何か？また、量子数とともにどのようにスケーリングするか？
• RQ2 実固有値の一般化された条件（$\hat{H}\hat{A}|\psi\rangle = E\hat{A}|\psi\rangle$）は、標準的な条件（$\hat{A}|\psi\rangle = \lambda|\psi\rangle$）をどのように拡張するか？
• RQ3 なぜ従来の非破れ対称性条件は、特定の非エルミート的剛体回転子モデルでは失敗するのか？しかし、それでも実固有値が出現する理由は何か？
• RQ4 さまざまな非エルミート的モデルにおける臨界パラメータおよび固有値の漸近的挙動は何か？また、普遍的なスケーリング則が存在するか？
• RQ5 他の数値的手法と比較して、対角化法は特異点を計算するにあたり、どれほど正確かつ効率的か？

主な発見

• 非エルミート的PT対称ハミルトニアンにおける臨界パラメータおよび特異点の計算に、対角化法（DM）は極めて効率的かつ正確である。
• 3つのモデル（10）、（20）、（24）における臨界パラメータ$a_n$は、漸近的に$n^2$に比例するスケーリングを示しており、このような系における普遍的なスケーリング傾向を示している。
• 実固有値の一般化された条件（$\hat{H}\hat{A}|\psi\rangle = E\hat{A}|\psi\rangle$）は、$\hat{A}|\psi\rangle$ が$|\psi\rangle$に比例しない場合でも、必要かつ十分であることが示された。非エルミート的3次元剛体回転子モデルで明確に確認された。
• 非エルミート的3次元剛体回転子$\hat{H} = \hat{L}^2 - g\cos\theta$（$g = ia$）では、$|a| < a_{M,n}$の範囲で固有値は実数であり、臨界点は$a = \pm a_{M,n}$に現れ、$a_{M,n} \approx b + 1.18 e_{M,n}$となる。
• DM結果と比較した場合、固有値の摂動級数は良好に収束しており、本手法の信頼性が裏付けられた。
• ディリクレ境界モデル（10）および非調和的振動子（20）の臨界パラメータについても、$n^2$の漸近的スケーリングを示すが、$V(x) = iZx/|x|$のモデルでは$Z_n \sim n$となるため、$n^2$スケーリングは普遍的ではない。