[論文レビュー] CRRA Utility Maximization under Risk Constraints

Santiago Moreno–Bromberg, Traian A. Pirvu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2011

Economic theories and models被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、動的で時間的・状態依存のリスク制約を一般リスク測度を用いてモデル化したCRRA効用関数の下での最適ポートフォリオ選択を研究する。時間整合性のある歪みリスク測度の下で三ファンド分離定理を確立し、二次の後向きストキャスティック微分方程式（BSDE）を用いて最適戦略を特徴づける。数値結果により、制約付き戦略はリスク資産への露店を低減することが示された。

ABSTRACT

This paper studies the problem of optimal investment with CRRA (constant, relative risk aversion) preferences, subject to dynamic risk constraints on trading strategies. The market model considered is continuous in time and incomplete. the prices of financial assets are modeled by Itô processes. The dynamic risk constraints, which are time and state dependent, are generated by risk measures. Optimal trading strategies are characterized by a quadratic BSDE. Within the class of extit{time consistent distortion risk measures}, a three-fund separation result is established. Numerical results emphasize the effects of imposing risk constraints on trading.

研究の動機と目的

• 不完全で連続時間の金融市場における実用的なリスク制約付きポートフォリオ最適化のニーズに対処すること。
• 実世界のリスク管理慣行を反映する、時間的・状態依存の一般リスク測度（例：VaR、TVaR）を用いたリスク制約のモデル化。
• このような制約下での最適投資の理論的枠組みを確立し、解の可測性と予測可能性を保証すること。
• 時間整合性のある歪みリスク測度を用いた場合に三ファンド分離結果を確立し、最適戦略の構造を単純化すること。
• 二次BSDEを用いた数値的に取り扱いやすい最適戦略の特徴づけを提供し、シミュレーションと実装を可能にする。

提案手法

• 資産価格をブラウン運動による不確実性を伴う連続時間の不完全市場におけるイト過程としてモデル化する。
• 制御変数に関して連続的かつ可測な関数として定義されるカルテーオリー写像であるリスク測度を用いて、動的リスク制約を課す。
• 双対法を用い、最適取引戦略を二次の後向きストキャスティック微分方程式（BSDE）によって特徴づける。
• 弱可測性と閉グラフの議論を用いて、戦略の実行可能集合が可測かつコンパクト値をとることを保証する。
• 定理A.4を適用して、BSDEのドライバーがカルテーオリー関数であることを確認し、解プロセスの予測可能性を保証する。
• 数値シミュレーションを用いて、リスク制約がポートフォリオ配分に与える影響、特にリスク資産への露店の低減を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CRRA効用関数の下で、動的で時間的・状態依存のリスク制約を課した場合、最適ポートフォリオ配分にどのような影響を与えるか？
• RQ2 リスク制約が時間整合性のある歪みリスク測度でモデル化された場合、三ファンド分離結果を確立できるか？
• RQ3 このような制約下での最適戦略の数学的構造は何か？ そして、解析的にどのように特徴づけられるか？
• RQ4 異なるリスク測度（例：VaR、TVaR）を時間的に動的に適用した場合、最適投資政策にどのような影響を与えるか？
• RQ5 リスク制約はリスク資産への露店をどの程度低減させるのか？ これはBSDEの定式化にどのように反映されるか？

主な発見

• リスク制約下での最適取引戦略は、二次の後向きストキャスティック微分方程式（BSDE）によって特徴づけられ、数値計算が可能である。
• 時間整合性のある歪みリスク測度の下では、三ファンド分離結果が成立し、最適ポートフォリオは無リスク資産、マーケットファンド、およびリスク調整済みファンドの組み合わせに単純化される。
• 数値シミュレーションにより、リスク制約がリスク資産への投資割合を顕著に低減することが確認された。
• リスク制約付き戦略の実行可能集合が弱可測かつコンパクト値をとることを示し、数学的取り扱いやすさを保証した。
• BSDEのドライバーがカルテーオリー関数であることが証明され、解プロセスの予測可能性が保証された。
• 閉グラフおよび可測選択の議論を用いて、近似戦略列が最適戦略に収束することを確立した。