[論文レビュー] Crystal bases and two-sided cells of quantum affine algebras

Jonathan Beck, Hiraku Nakajima|ArXiv.org|Dec 18, 2002

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、量子アフィン代数の正部分 $ \mathbf{U}^+ $ に対して、新たな整数基底 $ B $ を構成し、グローバル・クリスタル基底に関して上三角行列であり、係数が $ q_s^{-1}\mathbf{Z}[q_s^{-1}] $ に属することを示した。これにより、正規基底の新たな初等的な代数的定義が確立された。さらに、極端な重みモジュラスのクリスタル構造に関する予想を証明し、修正量子群 $ \widetilde{\mathbf{U}} $ のグローバル・クリスタル基底に対してピーター・ウェイの型の分解を提示した。これには、両側セルと $ q=0 $ における極限代数の明示的記述が含まれる。

ABSTRACT

Let $\g$ be an affine Kac-Moody Lie algebra. Let $\U^+$ be the positive part of the Drinfeld-Jimbo quantum enveloping algebra associated to $\g$. We construct a basis of $\U^+$ which is related to the Kashiwara-Lusztig global crystal basis (or canonical basis) by an upper triangular matrix (with respect to an explicitly defined ordering) with 1's on the diagonal and with above diagonal entries in $q_s^{-1} \Z[q_s^{-1}]$. Using this construction we study the global crystal basis $\B(\Um)$ of the modified quantum enveloping algebra defined by Lusztig. We obtain a Peter-Weyl like decomposition of the crystal $\B(\Um)$ (Theorem 4.18), as well as an explicit description of two-sided cells of $\B(\Um)$ and the limit algebra of $\Um$ at $q=0$ (Theorem 6.45).

研究の動機と目的

• 量子アフィン代数の $ \mathbf{U}^+ $ に対して、PBW基底を一般化し、グローバル・クリスタル基底と整合する新たな整数基底 $ B $ を開発すること。
• 基底 $ B $ とグローバル・クリスタル基底との間の変換行列が、対角成分が 1 で、係数が $ q_s^{-1}\mathbf{Z}[q_s^{-1}] $ に属する上三角行列であることを証明し、正規基底の新たな代数的特徴づけを確立すること。
• Kashiwara, Nakashima, Lusztig による、極端な重みモジュラス $ V(\lambda) $ のクリスタル構造に関する長年の予想を検証すること、特に $ \mathcal{B}(\lambda) \cong \mathcal{B}_W(\lambda) \times \mathrm{Irr}G_\lambda $ の分解が成り立つかどうかを確認すること。
• 修正量子群 $ \widetilde{\mathbf{U}} $ のグローバル・クリスタル基底 $ \mathcal{B}(\widetilde{\mathbf{U}}) $ に対してピーター・ウェイに類似した分解を確立し、両側セルと $ q=0 $ における極限代数を明示的に記述すること。
• 従来の基底 $ B $ の符号の不確実性を解消し、レベルゼロの極端な重みモジュラスとバーアルティューションを用いて、整数性と正確な変換行列を達成すること。

提案手法

• 根の特定の順序を用いて、実根ベクトルの単項式と虚根ベクトルにおけるシュール関数の積として基底 $ B $ を構成する。
• 特にティツの錐の外側にある $ \lambda \in P $ の極端な重みモジュラス $ V(\lambda) $ を用い、$ q=\infty $ での特殊化におけるグローバル・クリスタル基底の振る舞いを分析し、符号の一貫性を保証する。
• バーアルティューションの作用を分析し、正規基底の構造を用いることで、$ B $ とグローバル・クリスタル基底との間の変換行列が上三角行列で、対角成分が 1 で、係数が $ q_s^{-1}\mathbf{Z}[q_s^{-1}] $ に属することを証明する。
• 修正量子群 $ \widetilde{\mathbf{U}} $ の理論と分解 $ \mathcal{B}(\widetilde{\mathbf{U}}) \cong \coprod_{\lambda} \mathcal{B}(\lambda) \times \mathrm{Irr}G_\lambda $ を適用し、$ \widetilde{\mathbf{U}} $ のクリスタル構造を研究する。
• $ \widetilde{\mathbf{U}}[\lambda]_0 $ 上の $ J_\lambda $-加群構造と $ \Phi: \widetilde{\mathbf{U}} \to \widetilde{\mathbf{U}}[\lambda]_0 $ の同型を用い、$ V(\lambda) $ をその整数形式と関連づけ、$ \Psi: V(\lambda) \to V(\lambda)_0 \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Q}(q_s) $ が $ \widetilde{\mathbf{U}} $-加群同型であることを証明する。
• Frenkel-Mukhin のアルゴリズムとそのコンピュータ実装を用いて、基本的表現 $ W(\varpi_i) $ の次元を計算し、$ A_n^{(1)} $ の場合に $ \#\mathcal{D}_{\widetilde{\mathcal{B}}[\lambda]} $ を明示的に計算可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子アフィン代数の $ \mathbf{U}^+ $ に対して、PBW基底を一般化し、グローバル・クリスタル基底と整合する新たな整数基底 $ B $ の構造は何か？
• RQ2 基底 $ B $ とグローバル・クリスタル基底との間の変換行列が、対角成分が 1 で、係数が $ q_s^{-1}\mathbf{Z}[q_s^{-1}] $ に属する上三角行列であることをどのように示し、正規基底の初等的な代数的定義を確立できるか？
• RQ3 $ \lambda \in P $ の極端な重みモジュラス $ V(\lambda) $ のクリスタル構造は何か、特にティツの錐の外側にある場合に、Kashiwara が予想したように $ \mathcal{B}_W(\lambda) \times \mathrm{Irr}G_\lambda $ に分解されるか？
• RQ4 修正量子群のグローバル・クリスタル基底 $ \mathcal{B}(\widetilde{\mathbf{U}}) $ は、ピーター・ウェイに類似した方法でどのように分解できるか？ また、その両側セルと $ q=0 $ における極限代数の明示的記述は何か？
• RQ5 $ \mathcal{D}_{\widetilde{\mathcal{B}}[\lambda]} $ の濃度は何か？ また、$ A_n^{(1)} $ の場合に、基本的表現 $ W(\varpi_i) $ の次元とどのように関係するか？

主な発見

• 基底 $ B $ は実根ベクトルの単項式と虚根ベクトルにおけるシュール関数の積として構成され、$ \mathbf{Z}[q_s, q_s^{-1}] $ 上の整数基底をなす。
• 基底 $ B $ とグローバル・クリスタル基底 $ G(\mathcal{B}(-\infty)) $ の間の変換行列は、対角成分が 1 で、係数が $ q_s^{-1}\mathbf{Z}[q_s^{-1}] $ に属する上三角行列であり、正規基底の新たな初等的な代数的定義が得られた。
• 極端な重みモジュラス $ V(\lambda) $ のクリスタル $ \mathcal{B}(\lambda) $ は $ \mathcal{B}_W(\lambda) \times \mathrm{Irr}G_\lambda $ に分解され、Kashiwara の予想が確認された。
• 修正量子群のグローバル・クリスタル基底 $ \mathcal{B}(\widetilde{\mathbf{U}}) $ はピーター・ウェイに類似した分解 $ \coprod_{\lambda} \mathcal{B}(\lambda) \times \mathrm{Irr}G_\lambda $ を持つ。また、この分解を用いて $ \mathcal{B}(\widetilde{\mathbf{U}}) $ の両側セルが明示的に記述された。
• $ \widetilde{\mathbf{U}} $ の $ q=0 $ における極限代数は、修正量子群 $ \widetilde{\mathbf{U}}[\lambda]_0 $ と同型であり、$ \Psi: V(\lambda) \to V(\lambda)_0 \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Q}(q_s) $ が $ \widetilde{\mathbf{U}} $-加群同型として確立された。
• $ \widetilde{\mathbf{U}}(A_n^{(1)}) $ に対して、$ \mathcal{D}_{\widetilde{\mathcal{B}}[\lambda]} $ の要素数は $ \prod_{i=1}^n \binom{n+1}{i}^{\lambda_i} $ に等しく、基本的表現 $ W(\varpi_i) $ の次元 $ \binom{n+1}{i} $ を用いて計算された。