[論文レビュー] Cumulants, Spreadability and the Campbell-Baker-Hausdorff Series

Takahiro Hasebe, Franz Lehner|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2017

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 69被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、交換性を欠くモノトーン独立性を含む非交換確率における独立性やcumulantのさまざまな概念を統一する一般化された枠組みとして、スプレッドアビリティ・システムを導入する。一般化されたゼータ関数およびモービウス関数を順序付き集合分割上で開発し、ファウ・ディ・ブルーノの定理の変種を証明することで、既知のシステムを回復するcumulantを導出し、特定のスプレッドアビリティ・システムにおいてキャンベル＝バーガー＝ハウスドルフ級数がcumulantの和として自然に現れることを示し、ゴールドバーグ係数の新たな導出を提供する。

ABSTRACT

We define spreadability systems as a generalization of exchangeability systems in order to unify various notions of independence and cumulants known in noncommutative probability. In particular, our theory covers monotone independence and monotone cumulants which do not satisfy exchangeability. To this end we study generalized zeta and Möbius functions in the context of the incidence algebra of the semilattice of ordered set partitions and prove an appropriate variant of Faa di Bruno's theorem. With the aid of this machinery we show that our cumulants cover most of the previously known cumulants. Due to noncommutativity of independence the behaviour of these cumulants with respect to independent random variables is more complicated than in the exchangeable case and the appearance of Goldberg coefficients exhibits the role of the Campbell-Baker-Hausdorff series in this context. In a final section we exhibit an interpretation of the Campbell-Baker-Hausdorff series as a sum of cumulants in a particular spreadability system, thus providing a new derivation of the Goldberg coefficients.

研究の動機と目的

• 交換性に基づくcumulant理論を、交換性を欠く独立性（例えばモノトーン独立性）へ一般化すること。
• 順序付き集合分割上のインシデント代数を用いた組合せ的枠組みを構築し、一般化されたゼータ関数およびモービウス関数を定義すること。
• 既知のcumulantシステム（古典的、自由、ブール、モノトーン）を1つの理論的構造に統一すること。
• キャンブル＝バーガー＝ハウスドルフ級数が特定のスプレッドアビリティ・システムにおけるcumulantの和として自然に現れることを示すこと。
• アンシャッフル・スプレッドアビリティ・システムにおけるcumulantに基づく展開を用いて、ゴールドバーグ係数の新たな導出を提供すること。

提案手法

• 交換性の一般化としてスプレッドアビリティ・システムを導入し、非対称な独立性関係を許容すること。
• 順序付き集合分割の半格上に一般化されたゼータ関数およびモービウス関数を定義し、ブロックの順列を扱うために階乗正規化を用いること。
• インシデント代数の順序付き集合分割に対するファウ・ディ・ブルーノの定理の変種を証明し、非交換的状況下でのモーメント- cumulant の反転を可能にする。
• 階乗モービウス反転を用いてcumulantを構成し、既知の公理と一貫性があり一意であることを保証すること。
• アンシャッフル・スプレッドアビリティ・システムに特化することで、キャンブル＝バーガー＝ハウスドルフ級数とcumulant展開の関係を確立すること。
• 準乗法的関数および畳み込み恒等式を用いて、CBH展開の係数構造、特にゴールドバーグ係数の構造を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モノトーン独立性のような非交換的独立性系において、cumulantを一貫して定義する方法は何か？
• RQ2 非交換的状況下でのモーメント- cumulant 公式の背後にある組合せ的構造は何か？
• RQ3 スプレッドアビリティ・システムにおけるcumulant展開から、キャンブル＝バーガー＝ハウスドルフ級数はどのようにして現れるか？
• RQ4 ゴールドバーグ係数は、非交換cumulant展開における独立な確率変数の和の展開において、果たす役割は何か？
• RQ5 アンシャッフル・スプレッドアビリティ・システムは、キャンブル＝バーガー＝ハウスドルフ公式の係数に対する、新たな内在的導出を提供できるか？

主な発見

• 論文は、順序付き集合分割のposet上での階乗モービウス反転を用いてスプレッドアビリティ・システムのcumulantを構成し、既知のモーメント- cumulant 公式と一貫性があり一意であることを保証している。
• 順序付き集合分割上の一般化されたゼータ関数およびモービウス関数は、ファウ・ディ・ブルーノの定理の変種を満たし、非交換的状況下でのモーメント- cumulant 反転を可能にする。
• アンシャッフル・スプレッドアビリティ・システムでは、キャンブル＝バーガー＝ハウスドルフ級数がcumulantの和として実現され、級数の新たな組合せ的導出が得られる。
• キャンブル＝バーガー＝ハウスドルフ展開におけるゴールドバーグ係数は、アンシャッフル系における独立な確率変数の和のcumulant展開の係数として自然に現れることが示された。
• この枠組みは、古典的、自由、ブール、モノトーン、および条件付き自由なすべての既知のcumulantシステムを、1つの統一的構造に回復する。
• 一般化されたモービウス関数の逆関数は一般化されたゼータ関数であり、βt、γt、μ̃ に関する畳み込み恒等式から、半群的性質 βs * βt = βst と合成則 γs △ βt = βs∘t が得られる。