[論文レビュー] Current and density fluctuations for interacting particle systems with anomalous diffusive behavior

M. Jara|ArXiv.org|Jan 2, 2009

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 20被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、長距離移動を伴うゼロレンジプロセスおよび特異的バインドディスオーダーを有する異常拡散型相互作用粒子系の密度および電流フラクチュエーションを確立する。i.i.d. の α-安定分布に属する拡散係数を有する単純排他過程におけるトレース粒子が、分数次ブラウン運動に収束する関数中心極限定理を導出する。そのHurst指数は α/(2+2α) に等しい。

ABSTRACT

We prove density and current fluctuations for two examples of symmetric, interacting particle systems with anomalous diffusive behavior: the zero-range process with long jumps and the zero-range process with degenerated bond disorder. As an application, we obtain subdiffusive behavior of a tagged particle in a simple exclusion process with variable diffusion coefficient.

研究の動機と目的

• 対称的かつ相互作用を有する粒子系における異常拡散行動を示す密度および電流フラクチュエーションを分析すること。
• 標準的拡散スケーリングを超えて、長距離相互作用またはランダム環境を有する系へフラクチュエーション理論を拡張すること。
• トレース粒子の準拡散行動と増分過程における電流フラクチュエーションとの間の関係を確立すること。
• 重尾を持つ拡散係数を有する単純排他過程におけるトレース粒子の関数中心極限定理を導出すること。
• 適切な時間および空間スケーリングの下で、トレース粒子のスケーリング極限を分数次ブラウン運動として特徴づけること。

提案手法

• トレース粒子の位置が粒子移動の増分過程における境界を通過する電流に等しいという恒等式を用いる。
• フラクチュエーション-散逸関係を用いて、電流フラクチュエーションと経験的密度フラクチュエーションを関連付ける。
• レート関数 g(n) = 1_{n>0} および α-安定分布の領域に属する分布から抽出された λ_i を有するゼロレンジプロセスを分析する（0 < α < 1）。
• 流体力学的極限およびマクロスコピックフラクチュエーション理論を用いて、経験的密度過程のスケーリング極限を導出する。
• 電流過程のスケーリング極限を、電流-位置恒等式を介してトレース粒子に適用する。
• 相対粒子過程の不変測度が幾何的粒子間隔に対応することを用い、極限過程の導出を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称的相互作用粒子系における異常拡散の下で、密度および電流フラクチュエーションはどのように振る舞うか？
• RQ2 i.i.d. 拡散係数が α-安定分布の領域に属する単純排他過程におけるトレース粒子のスケーリング極限は何か？
• RQ3 増分過程における電流フラクチュエーションから、トレース粒子の準拡散行動を導出可能か？
• RQ4 このような系における制限分数次ブラウン運動の正確なHurst指数は何か？
• RQ5 ランダム環境の存在が、フラクチュエーションスケーリングおよびガウス過程への収束に与える影響は何か？

主な発見

• 長距離移動または特異的バインドディスオーダーを有するゼロレンジプロセスでは、密度および電流フラクチュエーションが、分数的時間スケーリングを伴う一般化されたオーナイズ・ウーレンプ過程に収束する。
• 増分過程における電流 $ J_0(t) $ はトレース粒子の位置 $ x_0(t) $ に同定され、電流フラクチュエーション理論を用いて準拡散を研究することが可能になる。
• i.i.d. 拡散係数の逆数が α-安定分布の領域に属する（0 < α < 1）単純排他過程において、トレース粒子の位置は $ \frac{1}{n}x_0(tn^{2+2/\alpha}) \to \mathcal{X}(t) $ を有限次元分布において満たす。
• 極限過程 $ \mathcal{X}(t) $ はHurst指数 $ \alpha/(2 + 2\alpha) $ の分数次ブラウン運動であり、異常準拡散スケーリングを確認する。
• 相対粒子過程の不変測度は幾何的粒子間隔に対応し、フラクチュエーションスケーリングの有効性を保証する。
• 古典的な単一ファイル系における $ t^{1/2} $ 準拡散を、より広い重尾を持つ拡散係数のクラスへ一般化し、指数は尾指数 α に依存する。