[論文レビュー] Current results on Newton polygons of curves

Rachel Pries|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2018

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 25被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、正の特性 $p$ における滑らかな曲線のヤコビアンのニュートン多角形およびエケダール・オアールト型に関する現在の知識を調査し、2つの新しい結果を証明している。第一に、各奇素数 $p$ に対して、$¯{\mathbb{F}}_p$ 上で genus $g$ の超特異曲線が、無限に多くの新たな $g$ の値について存在する。第二に、ニュートン多角形およびエケダール・オアールト型のストラトフィケーションの幾何に関する問題が、$p$-ランク 0 の場合に還元可能であることを示す還元定理を確立し、これにより高 genus における特定のニュートン多角形の存在が新たに示された。

ABSTRACT

There are open questions about which Newton polygons and Ekedahl-Oort types occur for Jacobians of smooth curves of genus $g$ in positive characteristic $p$. In this chapter, I survey the current state of knowledge about these questions. I include a new result, joint with Karemaker, which verifies, for each odd prime $p$, that there exist supersingular curves of genus $g$ defined over $\overline{\mathbb F}_p$ for infinitely many new values of $g$. I sketch a proof of Faber and Van der Geer's theorem about the geometry of the $p$-rank stratification of the moduli space of curves. The chapter ends with a new theorem, in which I prove that questions about the geometry of the Newton polygon and Ekedahl-Oort strata can be reduced to the case of $p$-rank $0$.

研究の動機と目的

• 滑らかな曲線のヤコビアンが正の特性 $p$ で取りうるニュートン多角形およびエケダール・オアールト型に関する現在の知識の状況を調査すること。
• $¯{\mathbb{F}}_p$ 上で genus $g$ の超特異曲線が無限に多くの $g$ に対して存在するかどうかという未解決問題に取り組むこと、特に奇素数 $p$ に対して。
• ニュートン多角形およびエケダール・オアールト型ストラトフィケーションの幾何に関する質問を $p$-ランク 0 の場合に還元できる還元原理を確立すること。
• 還元定理を用いて、$g \geq 4$ および $p$-ランク $g-4$ の場合に、特定のニュートン多角形を持つ滑らかな曲線の存在を証明すること。

提案手法

• 曲線のモジュライ空間 $\mathcal{M}_g$ における $p$-ランクストラティフィケーションおよびニュートン多角形ストラティフィケーションの理論を用いる。
• ファーベルとヴァン・デル・ギアの結果を適用：$p$-ランク $f$ のストラトフィケーションの次元は $\dim \mathcal{M}_g^f = 2g - 3 + f$ である。
• 同一型の葉とトーリッキ・ローカスを用いて、アーベル多様体のモジュライ空間における交点を分析する。
• 対称的 $\mathrm{BT}_1$ 群スキームの分類を用いて、エケダール・オアールト型を特徴付ける。
• 追加構造（例えば、$\mathbb{Z}[\zeta_3]$-作用）を持つアーベル多様体のモジュライ空間のニュートン多角形ストラティフィケーションを用いて、例を構成する。
• ニュートン多角形およびエケダール・オアールト型の幾何に関する質問が $p$-ランク 0 の場合に還元可能であることを示す還元定理（定理 6.4）を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 各奇素数 $p$ に対して、$¯{\mathbb{F}}_p$ 上で genus $g$ の超特異曲線が存在するような、新たな $g$ の値が無限に存在するか？
• RQ2 曲線のモジュライ空間におけるニュートン多角形およびエケダール・オアールト型ストラトフィケーションの幾何は、$p$-ランク 0 の場合に還元可能か？
• RQ3 $g \geq 4$ のとき、$p$-ランク $g-4$ のストラトフィケーションの適切な既約成分において、ニュートン多角形 $\xi_4^{+(g-4)}$ が一般に現れるか？
• RQ4 $g \geq 5$ のとき、そのヤコビアンのニュートン多角形の傾きが $1/g$ および $(g-1)/g$ であるような滑らかな曲線が存在するか？
• RQ5 genus 5 の滑らかな曲線が存在し、そのヤコビアンのニュートン多角形の傾きが $2/5$ および $3/5$ であるか？

主な発見

• 各奇素数 $p$ に対して、$¯{\mathbb{F}}_p$ 上で genus $g$ の超特異曲線が、無限に多くの新たな $g$ の値について存在する。これはカレマーカーと共同で証明された。
• すべての素数 $p$ およびすべての整数 $g \geq 2$、$0 \leq f \leq g$ に対して、$p$-ランク $f$ のストラトフィケーション $\mathcal{M}_g^f$ の次元は $2g - 3 + f$ である。ファーベルとヴァン・デル・ギアの結果を確認した。
• 定理 6.4 は、ニュートン多角形およびエケダール・オアールト型ストラトフィケーションの幾何に関する質問が、$p$-ランク 0 の場合に還元可能であることを示している。
• すべての素数 $p$ およびすべての $g \geq 4$ に対して、$¯{\mathbb{F}}_p$ 上で genus $g$ および $p$-ランク $g-4$ の滑らかな曲線が存在し、そのニュートン多角形の傾きは $0, 1/4, 3/4, 1$ である。これはコロナリー 6.5 に述べられている。
• $\mathcal{M}_4$ の $p$-ランク 0 ストラトフィケーションには、一般点がニュートン多角形 $\xi_4$ を持つ成分が含まれており、この曲線の存在が確認された。
• genus 5 の曲線で、ニュートン多角形 $\xi_5'$（傾き $2/5$ および $3/5$）を持つものが存在するかは未解決であるが、そのようなアーベル多様体の同一型の葉が $\mathcal{A}_5$ のトーリッキ・ローカスと交わるならば、その存在は可能である。