[論文レビュー] Cusps of arithmetic orbifolds

D. B. McReynolds|ArXiv.org|Jun 22, 2006

Geometric and Algebraic Topology参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、部分群分離性および幾何学的群論を用いて、算術的実、複素、クaternion的双曲的軌道体におけるカスプ断面を完全に分類する。カスプ断面は、ヘイセンベルク群またはクォータニオン的ヘイセンベルク群に基づくほとんど平坦な多様体であることが示され、実双曲的多様体に対してファーロールとツドラヴコフスカの予想とは対照的に、複素またはクォータニオン的設定ではすべての平坦多様体がカスプ断面として現れるわけではないことが証明されている。

ABSTRACT

This thesis investigates cusp cross-sections of arithmetic real, complex, and quaternionic hyperbolic $n$--orbifolds. We give a smooth classification of these submanifolds and analyze their induced geometry. One of the primary tools is a new subgroup separability result for general arithmetic lattices.

研究の動機と目的

• 算術的実、複素、クォータニオン的双曲的 (n+1)-軌道体のカスプ断面を分類すること。
• 高ランクの双曲的幾何における平坦またはほとんど平坦な多様体のうち、どの多様体がカスプ断面として現れるかを特定すること。
• ファーロール–ツドラヴコフスカの予想が、複素およびクォータニオン的双曲的設定へどの程度拡張可能かを解明すること。
• 算術的軌道体におけるカスプ形状による有界性の幾何的障害を確立すること。
• カスプ幾何におけるユニタリアフィン群の算術性の必要十分条件を提示すること。

提案手法

• 一般の算術的格子に対して新規の部分群分離性結果を基礎的道具として用いる。
• コアシスティチューションおよびリー群の k-形式を用いて、SU(n,1) および Sp(n,1) における算術的格子を分析する。
• Isom(H_X^n) のイワサワ分解を用いて、カスプ幾何および水平超曲面を研究する。
• ユニタリアフィン群およびその k-単形埋め込みを用いて、カスプ断面を分析する。
• ホロノミー定理を適用して、カスプ幾何と基本群構造を関連付ける。
• 行列方程式系 (式 6.2) を解き、カスプ群の明示的表現を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 算術的複素またはクォータニオン的双曲的軌道体のカスプ断面として現れる平坦またはほとんど平坦な多様体はどれか？
• RQ2 ファーロール–ツドラヴコフスカの予想（任意の平坦 n-多様体がカスプ断面として現れる）は、複素およびクォータニオン的双曲的幾何においてどの程度成立するか？
• RQ3 X = R, C, H の算術的 X-双曲的軌道体におけるカスプ断面の幾何学的・位相的構造は何か？
• RQ4 ユニタリアフィン群がカスプ幾何の文脈で算術的であるための必要十分条件は何か？
• RQ5 ほとんど平坦多様体のモジュライ空間におけるカスプ形状の稠密性を幾何的に特徴づけることができるか？

主な発見

• 任意の n ≥ 2 に対して、算術的複素双曲的 (2n+2)-軌道体のカスプ断面である、無限個の閉じたほとんど平坦な (2n+1)-多様体の族が存在する。
• 算術的複素双曲的軌道体のカスプ断面は、(2n+1) 次元ヘイセンベルク群に基づくほとんど平坦な多様体である。
• 算術的クォータニオン的双曲的軌道体のカスプ断面は、(4n+3) 次元クォータニオン的ヘイセンベルク群に基づくほとんど平坦な多様体である。
• ファーロール–ツドラヴコフスカの予想は、複素またはクォータニオン的設定へ拡張されない：すべての平坦多様体がカスプ断面として現れるわけではない。
• k-単形埋め込みを介して、ユニタリアフィン群の算術性の必要十分条件が導出された。
• 式 (6.2) の明示的行列解が構成され、指定されたホロノミーおよび交換関係を有するカスプ群の表現が得られた。