[論文レビュー] Cycles on Shimura varieties via geometric Satake

Liang Xiao, Xinwen Zhu|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2017

Advanced Algebra and Geometry被引用数 44

ひとこと要約

この論文は、幾何的サタケを用いて、志村多様体の mod p ファイバー間のコhomological対応を構成し、アフィンデュラン＝ルスティグ多様体の既約成分を中間コホモロジーにおけるテート類に関連付ける。一般性の条件の下で、基本的ニュートン層の既約成分のサイクル類が、Hodge型志村多様体の中間コホモロジーにおけるすべてのテート類を生成することを証明し、この設定におけるテート予想に対する幾何的証拠を提供する。

ABSTRACT

We construct (cohomological) correspondences between mod $p$ fibers of different Shimura varieties and describe the fibers of these correspondences by studying irreducible components of affine Deligne-Lusztig varieties. In particular, in the case of correspondences from a Shimura set to a Shimura variety, we obtain a description of the basic Newton stratum of the latter, and show that the irreducible components of the basic Newton stratum generate all the Tate classes in the middle cohomology of the Shimura variety, under a certain genericity condition. Along the way, we also determine the set of irreducible components of the affine Deligne-Lusztig variety associated to an unramified twisted conjugacy class.

研究の動機と目的

• 幾何的サタケを用いて、異なる志村多様体の mod p ファイバー間のコホモロジーを結ぶ幾何的枠組みを確立すること。
• アービエンス次元の半分である次元をもつHodge型志村多様体の基本的ニュートン層の構造を記述すること。
• 一般性の条件の下で、基本的局在の既約成分のサイクル類が、中間コホモロジーにおけるすべてのテート類を生成することを証明すること。
• 非分岐なねじれ共役類に関連するアフィンデュラン＝ルスティグ多様体の既約成分の集合を特定すること。
• 局所 shtuka 及びそのモジュライの文脈において幾何的対応を一般化し、志村多様体間のコホモロジー転送を可能にすること。

提案手法

• p-進群の幾何的サタケ同型を用いて、表現とアフィングラスマンジャンに沿った層との関係を確立する。
• 半無限軌道とMVサイクルを用いて、アフィンデュラン＝ルスティグ多様体（ADLVs）の既約成分を分析する。
• 局所ヘッケスタックと perverse 層を用いて、局所 shtuka モジュライ空間間のコホモロジー的対応を構成する。
• 一般化されたチェヴァリュー制限写像を適用し、局所 shtuka モジュライのコホモロジーと自動形式表現との関係を確立する。
• 局所層と perverse 層の文脈におけるジャケット＝ラングスツァー転送を用いて、異なる志村多様体のコホモロジーを関連付ける。
• サイクル類写像と双対性を用いて、成分の基本類とコホモロジー的対応、交差数との関係を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幾何的サタケは、志村多様体の mod p ファイバー間のコホモロジー的対応をどのように構成できるか？
• RQ2 次元 d の Hodge 型志村多様体（d が環境次元の半分であるとき）における基本的ニュートン層の構造は何か？
• RQ3 一般性の条件下で、基本的ニュートン層の既約成分のサイクル類は、中間コホモロジーにおけるすべてのテート類を生成するか？
• RQ4 非分岐なねじれ共役類に関連するアフィンデュラン＝ルスティグ多様体の既約成分の集合は何か？
• RQ5 局所 shtuka モジュライ上のコホモロジー的対応は、どのように志村多様体上の対応へと降下するか？

主な発見

• 次元 d（環境次元の半分）の Hodge 型志村多様体における基本的ニュートン層の既約成分は、アフィンデュラン＝ルスティグ多様体の幾何学によって記述される。
• 自動形式表現に一般性の条件が成り立つ場合、基本的局在の既約成分のサイクル類は、志村多様体の中間コホモロジーにおけるすべてのテート類を生成する。
• 非分岐なねじれ共役類に関連するアフィンデュラン＝ルスティグ多様体の既約成分の集合は、幾何的サタケ同型と MV サイクル理論によって完全に特定される。
• 局所 shtuka モジュライ空間間のコホモロジー的対応は、 perverse 層を用いた局所ヘッケスタック上で構成され、明示的なサイクル類写像を伴う。
• 局所 shtuka モジュライにおける対応の基本類は、トレース写像の下で固定点集合の基本類へと写像され、ヴァルシャブスキーのトレース公式を一般化する。
• モジュライ空間内での2つのサイクルの交差数は、双対コホモロジー的対応の合成に対応し、コンパactificationの選択に依存しない。