[论文解读] Cyclic cohomology for graded $C^{*,r}$-algebras and its pairings with van Daele $K$-theory

Johannes Kellendonk|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2016

Topological Materials and Phenomena参考文献 20被引用 10

一句话总结

本文在分次 $C^{*,r}$-代数中引入了循环上同调特征与van Daele K-理论类之间的取值于挠的配对，为检测非周期与周期模型中实拓扑绝缘体的拓扑不变量提供了框架。研究证明，对于二阶元素（如Kane-Mele与Fu-Kane-Mele不变量）而言，这些配对是非平凡的，从而以局部特征形式实现了非周期与周期模型中体-边对应关系的表述。

ABSTRACT

We consider cycles for graded $C^{*,r}$-algebras (Real $C^{*}$-algebras) which are compatible with the $*$-structure and the real structure. Their characters are cyclic cocycles. We define a Connes type pairing between such characters and elements of the van Daele $K$-groups of the $C^{*,r}$-algebra and its real subalgebra. This pairing vanishes on elements of finite order. We define a second type of pairing between characters and $K$-group elements which is derived from a unital inclusion of $C^{*}$-algebras. It is potentially non-trivial on elements of order two and torsion valued. Such torsion valued pairings yield topological invariants for insulators. The two-dimensional Kane-Mele and the three-dimensional Fu-Kane-Mele strong invariant are special cases of torsion valued pairings. We compute the pairings for a simple class of periodic models and establish structural results for two dimensional aperiodic models with odd time reversal invariance.

研究动机与目标

• 解决Connes型配对在实 $C^{*,r}$-代数中的有限阶K-理论类上消失的局限性。
• 定义一类新的取值于挠的配对，使其在与时间反演对称性相关的二阶元素上保持非平凡性，适用于拓扑绝缘体。
• 通过单位包含与Clifford代数结构，为这些配对提供显式局部公式。
• 通过新配对框架将Kane-Mele与Fu-Kane-Mele不变量推广至非周期模型。
• 在实 $C^{*,r}$-代数中建立基于特征的体-边对应关系的表述。

提出的方法

• 定义与 $*$-结构及实结构相容的分次 $C^{*,r}$-代数的循环，其特征为循环余胞。
• 构造此类特征与van Daele K-理论类之间的Connes型配对，证明其在有限阶元素上消失。
• 通过单位包含 $B \to \tilde{B}$ 引入第二类配对，重点关注 $B \to B \rtimes \text{Cl}_{1,0}$ 与 $B \to B \rtimes \text{Cl}_{0,1}$，以获取挠不变量。
• 利用Clifford代数表示与分次张量积，推导出取值于挠的配对的显式局部公式。
• 分析由包含诱导的K-理论映射 $\varphi_*$ 的核，以识别哪些 $K$-类具有额外对称性（如自旋或手征对称性）。
• 计算与 $M_{2n}(bC) \otimes C(\bbT^2)$ 同构的周期模型中的配对，证明其模2下与Kane-Mele不变量一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 当Connes型配对在实 $C^{*,r}$-代数中对有限阶K-理论类消失时，能否检测到拓扑不变量？
• RQ2 由单位包含 $B \to \tilde{B}$ 诱导的核 $\ker \varphi_*$ 的结构是什么？它与物理对称性有何关联？
• RQ3 如何为循环上同调特征与K-理论元素显式构造取值于挠的配对？
• RQ4 Kane-Mele与Fu-Kane-Mele不变量在多大程度上可视为所提出配对框架的特例？
• RQ5 该配对能否扩展至非周期模型，特别是在具有奇时间反演对称性的二维系统中？

主要发现

• Connes型配对在有限阶元素上消失，限制了其在检测挠不变量中的应用。
• 对于二阶 $K$-类，取值于挠的配对是非平凡的，并通过单位包含 $B \to B \rtimes \text{Cl}_{1,0}$ 显式计算得出。
• Kane-Mele不变量的配对恰好对应于 $\Delta^{j}_{\text{ch}_2 \# \kappa_1}([x_{z_0,z_1}])$，其计算为在 $[\frac{1}{2},1] \times \bbT^2$ 上的积分差模2。
• 在周期模型中，该配对与Kane-Mele不变量的标准度数公式一致，证实了与现有物理理论的一致性。
• 在具有奇时间反演对称性的二维非周期模型中，当且仅当哈密顿量具有虚手征对称性时，$K$-类属于 $\ker \varphi_*$。
• 该框架将Kane-Mele不变量推广至非周期系统，提供了一类局部的、基于特征的拓扑不变量。