[論文レビュー] Cyclicality, Periodicity and the Topology of Time Series

Paweł Dłotko, Wanling Qiu+1 more|arXiv (Cornell University)|May 28, 2019

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 18被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、スライディングウインドウ埋め込みと恒久ホモロジーを用いて、ノイズの多い単変量時系列における周期性を検出および定量するためのトポロジカルデータ解析（TDA）フレームワークを導入する。埋め込み空間における循環的構造を同定し、ランドマーク割り当てからの記号的ダイナミクスを分析することで、2周期のみでさえも信頼性高く周期性を検出でき、ノイズが多いか不規則にサンプリングされたデータにおいて、スペクトル的手法を上回る性能を示す。

ABSTRACT

Periodic and semi periodic patterns are very common in nature. In this paper we introduce a topological toolbox aiming in detecting and quantifying periodicity. The presented technique is of a general nature and may be employed wherever there is suspected cyclic behaviour in a time series with no trend. The approach is tested on a number of real-world examples enabling us to consistently demonstrate an ability to recognise periodic behaviour where conventional techniques fail to do so. Quicker to react to changes in time series behaviour, and with a high robustness to noise, the toolbox offers a powerful way to deeper understanding of time series dynamics.

研究の動機と目的

• 従来のスペクトル的手法が失敗するようなノイズの多い時系列における周期性を検出する、強固なトポロジカル手法を開発すること。
• 周期が疎であったり、ノイズによって著しく損なわれている場合に、スペクトル手法が真の周期性を特定できないという限界を克服すること。
• トポロジカル手法が、2つの観測周期のみでさえも周期性を検出可能であるのに対し、スペクトル手法は多くの繰り返しを要するという事実を示すこと。
• ファイナンス、生物学、気象学など多様な分野に応用可能な汎用ツールボックスを提供すること。
• 今後のTDAの時系列解析における標準統計ソフトウェアへの統合の基盤を確立すること。

提案手法

• 時系列データを高次元空間における点群として表現するため、スライディングウインドウ埋め込み（SWE）を構築する。
• SWEに恒久ホモロジーを適用し、循環的トポロジーを検出する。周期性の尺度として、1番目のホモロジー群のノルムを用いる。
• 埋め込み点群上に一様に分布するランドマーク点を配置し、記号的ダイナミクス表現を可能にする。
• SWE内の各点をその最も近いランドマークに割り当てる（ハードまたはソフト割り当て）ことにより、時間的順序に基づく記号列を生成する。
• 記号的ダイナミクス列における繰り返しパターンの検出によって周期性を同定する。
• SWEにおける循環的構造のトポロジカルな特徴を周期性の必要条件とし、ウインドウ長およびノイズに対する耐性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トポロジカルデータ解析は、スペクトル手法がしばしば失敗する2周期未塔の時系列に対しても周期性を検出可能か？
• RQ2 Rのforecastパッケージに内蔵されたfindfrequency関数と比較して、TDAベースの手法は実世界のノイズの多いデータにおける周期性検出においてどのように性能を発揮するか？
• RQ3 提案手法はノイズおよびウインドウ埋め込み長の変動に対してどの程度耐性を示すか？
• RQ4 信号が弱いか非定常であっても、スライディングウインドウ埋め込みにおけるトポロジカルな特徴が、実際に周期的挙動を信頼性高く示せるか？
• RQ5 ファイナンスや気象学などの実世界の応用において、恒久ホモロジーと記号的ダイナミクスを用いた周期性検出に実用的な利点は何か？

主な発見

• メルボルンの気温データにおいて、TDA手法は高ノイズにもかかわらず、平均350日という真の365日周期に近い周期推定値を示し、年間周期性を的確に同定した。
• チューリッヒのsunspotデータでは、TDAとスペクトル手法の両方が周期性を検出できたが、TDAは短期的変動に対してより感受性が高かった。これは、より迅速な反応性を示している可能性がある。
• CASSの船舶輸送データでは、Rのforecastパッケージに内蔵されたfindfrequency関数は周期性を検出できず（平均推定値<1、多数が0）、一方TDAは明確な周期的パターンを正しく同定した。
• ノイズおよびウインドウ長の選択に対して、同手法は一貫した検出性能を維持し、高い耐性を示した。
• 2つの観測周期のみでさえも、TDAアプローチは周期性を確認できたが、スペクトル手法では信頼性のある検出を得るにははるかに多くの繰り返しが必要となる。
• ランドマーク割り当てに基づく記号的ダイナミクスアプローチは、時系列内の周期的パターンを効果的に捉え、背後にある周期的挙動の強力な証拠を提供した。