[論文レビュー] $D$-modules arithmétiques, distributions et localisation

Christine Huyghe, Tobias Schmidt|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、完備な離散付値環（特徴が $(0,p)$ で不等である）上の滑らかでアフィンな群スキーム $G$ に対して、部分分岐べき（partial divided powers）を用いて算術的分布代数 $D^{(m)}(G)$ を構成し、それらを不変な算術的微分作用素と同定し、再帰的群に対して $p$-進局所化定理を確立する。また、$p$-進形式的フラッグ多様体上の算術的微分作用素の層の全体切断が、中心的特徴の下での完成分布代数と同型であることを示し、ベイリソン＝バーナイン局所化定理を算術的設定に拡張する。

ABSTRACT

Let $p$ be a prime number, $V$ a discrete valuation ring of unequal caracteristics $(0,p)$, $G$ a smooth affine algebraic group over $Spec \,V$. Using partial divided powers techniques of Berthelot, we construct arithmetic distribution algebras, with level $m$, generalizing the classical construction of the distribution algebra. We also construct the weak completion of the classical distribution algebra. We then show that these distribution algebras can be identified with invariant arithmetic differential operators over $G$. We finally apply these constructions in the case of a reductive group and obtain a localization theorem for the sheaf of arithmetic differential operators on the formal flag variety obtained by $p$-adic completion, generalizing a previous result of Ardakov-Wadsley (for the level 0 and with some condition on $p$).

研究の動機と目的

• 古典的分布代数を部分分岐べきを用いて算術的設定に一般化すること。
• 弱完成化された算術的分布代数を構成し、それらを $G$ 上の不変な算術的微分作用素と同定すること。
• 再帰的群に対してベイリソン＝バーナイン局所化定理の $p$-進版を確立すること。
• 形式的フラッグ多様体上の算術的 $\mathcal{D}$-加群のコホモロジーと、リー代数コホモロジーおよび剛体コホモロジーとの関係を明らかにすること。
• 特徴が $p$ の場合のフラッグ多様体の開部分集合の剛体コホモロジーを、算術的 $\mathcal{D}$-加群を用いたフレームワークで研究するための基盤を提供すること。

提案手法

• レベル $m$ の部分分岐べきの理論（Berthelot の理論）を用いて、$G$ の単位元の $m$-PD近傍上の関数の双対として算術的分布代数 $D^{(m)}(G)$ を定義する。
• $\pi$-進完成を用いて分布代数の弱完成化 $\widehat{D}^{(m)}(\mathcal{G})_\mathbf{Q}$ を構成する。
• 関連する層のグレード写像を用いて、$D^{(m)}(G)$ を $G$-不変な算術的微分作用素の代数と同定する。
• 形式的フラッグ多様体 $X = \widehat{G/B}$ 上の算術的微分作用素の層 $\mathcal{D}^{(m)}_X$ を定義し、それが $\mathcal{A}^{(m)}_X$-加群として整合的（coherent）であることを示す。
• スペクトル系列の議論とコホモロジー次数に関する帰納法を用いて、任意の整合的 $\mathcal{D}^{(m)}_X$-加群 $\mathcal{M}$ に対して、全体コホモロジー群 $H^k(X, \mathcal{M})$ が $D^{(m)}(G)^{\mathrm{op}}$ 上で有限生成であることを証明する。
• $\pi$-進完成補題を適用し、自然な準同型 $\widehat{D}^{(m)}(\mathcal{G}_K)^{\mathrm{op}} / Z_K^+ \widehat{D}^{(m)}(\mathcal{G}_K)^{\mathrm{op}} \to \Gamma(X, \widehat{\mathcal{D}}^{(m)}_{X,\mathbf{Q}})$ が同型であることを示し、局所化定理を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして $m$-PD 構造を用いて古典的分布代数を算術的設定に一般化できるか？
• RQ2 形式的フラッグ多様体上の算術的微分作用素の層は、完成化された分布代数の全体切断によって記述可能か？
• RQ3 形式的フラッグ多様体上の算術的 $\mathcal{D}$-加群のコホモロジーと、特徴が 0 のリー代数のコホモロジーとの関係は何か？
• RQ4 $\mathcal{D}$-加群の局所化定理は、再帰的群の $p$-進算術的設定にどのように拡張できるか？
• RQ5 特徴が $p$ の場合のフラッグ多様体の開部分集合の剛体コホモロジーは、算術的 $\mathcal{D}$-加群のコホモロジーと関係づけられるか？

主な発見

• 算術的分布代数 $D^{(m)}(G)$ は、$G$ 上の $G$-不変なレベル $m$ の算術的微分作用素の代数に同型であり、単位元の $m$-PD 近傍の双対として構成される。
• 形式的フラッグ多様体 $X = \widehat{G/B}$ 上の算術的微分作用素の層 $\mathcal{D}^{(m)}_X$ は、$m$-PD 微分作用素の層 $\mathcal{A}^{(m)}_X$-加群として整合的である。
• 任意の整合的 $\mathcal{D}^{(m)}_X$-加群 $\mathcal{M}$ に対して、全体コホモロジー群 $H^k(X, \mathcal{M})$ は、帰納法とスペクトル系列の議論により $D^{(m)}(G)^{\mathrm{op}}$ 上で有限生成である。
• 完成化された分布代数 $\widehat{D}^{(m)}(\mathcal{G}_K)^{\mathrm{op}} / Z_K^+ \widehat{D}^{(m)}(\mathcal{G}_K)^{\mathrm{op}}$ は、全体切断 $\Gamma(X, \widehat{\mathcal{D}}^{(m)}_{X,\mathbf{Q}})$ と同型であり、算術的局所化定理を確立する。
• 同様の同型は、$Z_K^+$ の代わりに $\mathrm{Ker}\theta_K$ が現れるねじれのある場合にも成り立ち、局所化定理が任意の中心的特徴に拡張されることを示す。
• この結果により、特徴が $p$ のフラッグ多様体の開部分集合の剛体コホモロジーは、形式的フラッグ多様体上の算術的 $\mathcal{D}$-加群のコホモロジーを用いて計算可能であることが示される。