[論文レビュー] Darboux transformations and exact soliton solutions of integrable coupled spin systems related with the Manakov system

Akbota Myrzakul, Ratbay Myrzakulov|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2016

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 6被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、$su(3)$-値の$\Gamma$-スピン系に対するダーブー変換（DT）を構築し、正確なソリトン解を再帰的に得るための公式を導出する。このDTを用いて、ゲージ同値性と逆M変換を経て、結合されたM-LIII方程式（マナコフ系に同等）の明示的な1ソリトン解を構成する。これにより、可積分な結合スピン系およびその曲線・曲面力学における幾何的実現のソリトン解を体系的に生成する手法が得られる。

ABSTRACT

We construct a Darboux transformation of a general $su(3)$-valued spin system called the $Γ$-spin system. Using this Darboux transformation we derive a recursive formula for the soliton solutions of this spin system. Then using these results we present explicit expressions for the 1-soliton solution of the coupled $su(2)$-valued spin systems, namely, of the coupled M-LIII equation.

研究の動機と目的

• $su(3)$-値の$\Gamma$-スピン系、つまり一般の可積分な結合スピンモデルに対するダーブー変換（DT）を開発すること。
• 構築したDTを用いて、$\Gamma$-スピン系のソリトン解の再帰的公式を導出すること。
• DTの結果を応用し、ヘイゼンベルグ強磁性体モデルの2層一般化に相当する結合M-LIII方程式の明示的1ソリトン解を構成すること。
• Lax表現を用いて、結合M-LIII方程式とマナコフ系との間のゲージ同値性を確立すること。
• これらのスピン系と微分幾何学における相互作用する曲線・曲面の可積分変形との関係を示すこと。

提案手法

• Lax対$\Re_x = U \Re$の解を新たな解に変換する$3 \times 3$のダーブー行列$L$を導出し、$L_x = U' L - L U$を満たすようにする。
• $U$および$V$行列を用いて、$su(3)$-値の可積分スピン系として$\Gamma$-スピン系を構築し、そのLax表現を導出する。
• Lax対の固有関数$\psi_1, \psi_2, \psi_3$を用いて、スペクトルパラメータの行列式および有理関数を介して、ダーブー変換行列$\Gamma^{[1]}$を構築する。
• 初期解$A^{[0]} = \sigma_3$, $B^{[0]} = \sigma_3$を用いて、逆M変換を適用し、$\Gamma$-スピン系の解を結合M-LIII方程式の解に写像する。
• 結合M-LIII方程式の1ソリトン解を、$\Gamma$-スピン系のDTから得られる行列要素$\Gamma_{ij}^{[1]}$を用いて表現する。
• Lax表現およびスペクトルパラメータの変換を用いて、結合M-LIII方程式とマナコフ系との間のゲージ同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして$su(3)$-値の$\Gamma$-スピン系に対してダーブー変換を体系的に構築できるか？
• RQ2 $\Gamma$-スピン系のダーブー変換によって生成されるソリトン解の再帰的構造は何か？
• RQ3 逆M変換とDTを用いて、結合M-LIII方程式の1ソリトン解を$\Gamma$-スピン系からどのように導出できるか？
• RQ4 Lax対の観点から、結合M-LIII方程式とマナコフ系との間の正確なゲージ同値性は何か？
• RQ5 これらのソリトン解は、微分幾何学における相互作用する曲線・曲面の可積分変形とどのように関係しているか？

主な発見

• ダーブー変換は、$L_x = U' L - L U$を満たす$3 \times 3$のダーブー行列$L$を用いて構築され、これによりソリトン解の再帰的生成が可能となる。
• $\Gamma$-スピン系の1ソリトン解は、固有関数$\psi_1 = e^{-i\lambda x - 2i\lambda^2 t + i\delta_1}$, $\psi_2 = e^{\theta + i\delta_2}$, $\psi_3 = e^{\theta + i\delta_3}$（$\theta = -i\lambda_1 x - 2i\lambda_1^2 t$）を用いて明示的に導出される。
• 結合M-LIII方程式の1ソリトン解は、逆M変換を経て得られ、$A^{[1]}$および$B^{[1]}$は$\Gamma$-スピン系の$\Gamma_{ij}^{[1]}$要素の有理関数として表現される。
• $A^{[1]}$の解は$A^{[1]} = \frac{1}{1 - \Gamma_{33}^{[1]}} \begin{pmatrix} \Gamma_{11}^{[1]} - \Gamma_{22}^{[1]} & 2\Gamma_{12}^{[1]} \\ 2\Gamma_{21}^{[1]} & \Gamma_{22}^{[1]} - \Gamma_{11}^{[1]} \end{pmatrix}$と与えられ、$B^{[1]}$についても同様である。
• 結合M-LIII方程式とマナコフ系との間のゲージ同値性は、共通のLax表現およびスペクトルパラメータ依存性によって確立される。
• 本研究の結果は、可積分な多層磁性系およびその曲線・曲面力学における幾何的同型物の正確なソリトン解を生成する包括的なフレームワークを提供する。