[論文レビュー] Data-driven dimensional analysis: algorithms for unique and relevant dimensionless groups

Paul G. Constantine, Zachary del Rosario+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2017

Model Reduction and Neural Networks被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、古典的次元解析とアクティブサブスぺース、および実験的・計算的データを組み合わせることで、一意で関連性のある無次元群を生成する2つのデータ駆動型アルゴリズムを提案する。これらの手法は、応答面または有限差分を用いて、関連性の高い順に並べられた無次元群を特定する。乱流および層流のパイプ流れに対して検証され、乱流に対しては、新たな順序付きの2つの無次元群が得られた。

ABSTRACT

Classical dimensional analysis has two limitations: (i) the computed dimensionless groups are not unique, and (ii) the analysis does not measure relative importance of the dimensionless groups. We propose two algorithms for estimating unique and relevant dimensionless groups assuming the experimenter can control the system's independent variables and evaluate the corresponding dependent variable; e.g., computer experiments provide such a setting. The first algorithm is based on a response surface constructed from a set of experiments. The second algorithm uses many experiments to estimate finite differences over a range of the independent variables. Both algorithms are semi-empirical because they use experimental data to complement the dimensional analysis. We derive the algorithms by combining classical semi-empirical modeling with active subspaces, which---given a probability density on the independent variables---yield unique and relevant dimensionless groups. The connection between active subspaces and dimensional analysis also reveals that all empirical models are ridge functions, which are functions that are constant along low-dimensional subspaces in its domain. We demonstrate the proposed algorithms on the well-studied example of viscous pipe flow---both turbulent and laminar cases. The results include a new set of two dimensionless groups for turbulent pipe flow that are ordered by relevance to the system; the precise notion of relevance is closely tied to the derivative based global sensitivity metric from Sobol' and Kucherenko.

研究の動機と目的

• 古典的次元解析における一意性の欠如と関連性の評価の欠如を解消する。
• 制御された実験またはシミュレーションからのデータを用いて、一意で関連性のある無次元群の特定を可能にする。
• アクティブサブスぺースを次元解析と統合し、群の重要性を体系的かつ合理的に測定する。
• データの可用性やコストの異なるコンピュータ実験に適した実用的なアルゴリズムを開発する。
• 粘性パイプ流れに本手法を適用し、乱流に対して新たな順序付きの無次元群のセットを明らかにする。

提案手法

• 少数の実験から構築された応答面モデルを用いて、出力が入力変数に依存する程度を推定する。
• 応答面にアクティブサブスぺースを適用し、ヘッセ行列の固有ベクトルと固有値を計算して低次元構造を同定する。
• アクティブサブスぺースの基底から無次元群を導出し、感度指標を用いて一意性と関連性を保証する。
• 高スルーレットな設定では、多数のモデル評価を用いて数値的に偏微分を推定し、感度に基づく指数を計算する。
• 偏微分に基づくグローバル感度指標を用いて、得られた無次元群を関連性の高い順に順序付ける。
• 入力空間を回転変換して、最も影響力のある方向に一致させることで、一意で順序付きの無次元群のセットを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的次元解析は、データを用いて一意で関連性のある無次元群を生成するように拡張可能か？
• RQ2 アクティブサブスぺースをどのようにして、データ駆動的に無次元群の基底を一意に定義するか？
• RQ3 データ量と品質が、計算された無次元群の精度に与える影響は何か？
• RQ4 異なる実験設定において、提案されたアルゴリズムの計算コストと精度はどのように比較されるか？
• RQ5 乱流パイプ流れに対して、新たに得られた無次元群が、レイノルズ数や相対的粗さといった古典的群よりも関連性が高いかを示せるか？

主な発見

• 提案されたアルゴリズムは、次元解析とアクティブサブスぺースによるデータ駆動型感度解析を組み合わせることで、一意の無次元群を生成する。
• 乱流パイプ流れにおいて、本手法は関連性の高い順に並べられた2つの新しい無次元群のセットを同定した。そのうち最初の群が著しく影響力が強い。
• 応答面に基づくアルゴリズム1はわずか1,000回のモデル評価で実行可能だが、表面の精度に依存する。一方、アルゴリズム2は483,153回の評価を要し、より高い精度を達成する。
• 有限差分に基づくアルゴリズム2は、応答面の近似を避けるため、直接的な微分推定が可能であり、より高い精度を達成する。
• アクティブサブスぺースと次元解析の関係から、すべての経験的モデルがリッジ関数であることが明らかになり、入出力関係に低次元構造が存在することを示唆する。
• 結果として、古典的表現と新しい無次元群表現との間で127度の回転が確認され、重要性の再順序付けが明確に裏付けられた。